개념 107: 자취의 방정식
어떤 조건을 만족시키는 점들이 도형을 이룰 때, 이 도형을 주어진 조건을 만족시키는 점들의 자취라고 해요.
이때 특정 조건을 만족시키는 자취 위의 임의의 점 \( P(x, y) \)에 대하여 \( x, y \) 사이의 조건을 수식으로 나타낸 식 \( f(x, y) = 0 \)을 자취의 방정식이라고 해요.
자취의 방정식 구하는 순서
- 좌표축의 도입: 좌표축을 적당히 잡는다.
- 좌표의 설정: 조건을 만족시키는 점의 좌표를 \( (x, y) \)로 놓는다.
- 관계식의 형성: 주어진 조건을 이용하여 \( x, y \) 사이의 관계식을 만든다.
- 식의 정리: \( x, y \) 이외의 문자는 소거하고 제한된 범위를 따져 본다.
- 자취의 해석: \( x, y \) 사이의 관계식에서 자취를 구한다. 이때 범위에 주의한다.
Remark:
- 자취가 도입되어 있는 경우에는 위의 과정 중에서 (i), (v)를 생략할 수 있어요.
- (iii), (iv)에서 구한 \( x, y \) 사이의 관계식과 제한 범위가 자취의 방정식이에요.
예제
두 점 \( A(-2, 0), B(2, 0) \)으로부터 같은 거리에 있는 점 \( P \)의 자취를 구해 봅시다.
점 \( P(x, y) \)의 좌표를 설정하면,
\[ AP = BP \]에서 \( AP^2 = BP^2 \)이므로
\[ (x + 2)^2 + y^2 = (x – 2)^2 + y^2 \]
양변을 전개하면
\[ x^2 + 4x + 4 + y^2 = x^2 – 4x + 4 + y^2 \]
\[ 8x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]
따라서 두 점 \( A(-2, 0), B(2, 0) \)으로부터 같은 거리에 있는 점 \( P \)의 자취의 방정식은
\[ x = 0 \]
즉, 점 \( P \)의 자취는 수직선이에요.
Remark: 평면 위에서 서로 다른 두 점 \( A, B \)로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취는 선분 \( AB \)의 수직이등분선이에요.