개념 106: 삼각형의 무게중심
세 꼭짓점의 좌표가 주어질 때, 삼각형의 무게중심 \( G \)의 좌표는 다음과 같아요.
좌표평면 위의 세 점 \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \( ABC \)의 무게중심 \( G \)의 좌표는
\[ G \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) \]
개념살펴보기
삼각형의 무게중심은 세 중선이 각 꼭짓점으로부터 각각 2:1로 내분하는 점이에요.
이를 이용하면, 세 점 \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \( ABC \)의 무게중심 \( G \)의 좌표를 구할 수 있어요.
변 \( BC \)의 중점을 \( M(x’, y’) \)이라 하면
\[ x’ = \frac{x_2 + x_3}{2}, \quad y’ = \frac{y_2 + y_3}{2} \]
삼각형 \( ABC \)의 무게중심 \( G(x, y) \)는 중선 \( AM \)을 2:1로 내분하므로
\[ x = \frac{2x’ + 1x_1}{2+1} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \]
\[ y = \frac{2y’ + 1y_1}{2+1} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \]
따라서
\[ G \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) \]
개념확인문제
다음 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \( ABC \)의 무게중심 \( G \)의 좌표를 구하세요.
- \( A(4, -5), B(-2, 0), C(7, -1) \)
- \( A(2, 5), B(-4, 1), C(-1, -3) \)
풀이:
- \( G(3, -2) \): \( \left( \frac{4 + (-2) + 7}{3}, \frac{-5 + 0 + (-1)}{3} \right) = (3, -2) \)
- \( G(-1, 1) \): \( \left( \frac{2 + (-4) + (-1)}{3}, \frac{5 + 1 + (-3)}{3} \right) = (-1,1) \)