고등수학개념사전 103선분의 내분점과 외분점

개념 103: 선분의 내분점과 외분점

1. 내분과 내분점

점 \( P \)가 선분 \( AB \) 위에 있고

\[ AP : PB = m : n \quad (m > 0, n > 0) \]

일 때, 점 \( P \)는 선분 \( AB \)를 \( m:n \)으로 내분한다고 하고, 점 \( P \)를 선분 \( AB \)의 내분점이라고 해요.

Remark: 선분 \( AB \)를 \( 1:1 \)로 내분하는 점은 선분 \( AB \)의 중점이에요.

2. 외분과 외분점

점 \( Q \)가 선분 \( AB \)의 연장선 위에 있고

\[ AQ : QB = m : n \quad (m > 0, n > 0, m \neq n) \]

일 때, 점 \( Q \)는 선분 \( AB \)를 \( m:n \)으로 외분한다고 하고, 점 \( Q \)를 선분 \( AB \)의 외분점이라고 해요.

Remark: 선분 \( AB \)를 \( 1:1 \)로 외분하는 점은 존재하지 않으므로 외분의 경우는 \( m \neq n \)일 경우만 생각해요.

개념살펴보기

내분점은 선분 위에 있고, 외분점은 선분의 연장선 위에 있어요.

선분의 외분점의 위치는 \( m, n \)의 대소 관계에 따라 다음과 같아요.

• \( m > n \)일 때, \( AQ > QB \)이므로 점 \( Q \)는 점 \( B \)의 방향으로 그은 선분 \( AB \)의 연장선 위에 있어요.
• \( m < n \)일 때, \( AQ < QB \)이므로 점 \( Q \)는 점 \( A \)의 방향으로 그은 선분 \( AB \)의 연장선 위에 있어요.

개념확인문제

오른쪽 그림과 같이 선분 \( AB \)의 사등분점을 각각 \( C, D, E \)라 할 때, □ 안에 알맞은 것을 써넣으세요.

1. 점 \( C \)는 선분 \( AB \)를 \( □:□ \)으로 내분하는 점이에요.
2. 점 \( D \)는 선분 \( EB \)를 \( □:□ \)으로 외분하는 점이에요.
3. 점 \( E \)는 선분 \( AB \)를 \( 2:1 \)로 외분하는 점이에요.

풀이:

• \( AC : BC = 1 : 3 \)
• \( ED : BD = 1 : 2 \)
• \( AB : DB = 2 : 1 \)