고등수학개념사전 054이차함수

이차함수 \( y = ax^2 \) 의 그래프는 다음과 같은 성질을 가져요.

• ① 꼭짓점: 원점 \( (0, 0) \)
• ② 축: \( y \)-축 (직선 \( x=0 \))
• ③ \( a > 0 \) 이면 위로 볼록해요.
• ④ \( a < 0 \) 이면 아래로 볼록해요.
• ⑤ \( |a| \) 값이 클수록 그래프의 폭이 좁아져요.

이차함수 \( y = a(x – p)^2 + q \) 의 그래프는 다음과 같은 특징이 있어요.

• ① \( y = ax^2 \) 의 그래프를 \( x \)-축의 방향으로 \( p \) 만큼, \( y \)-축의 방향으로 \( q \) 만큼 평행이동한 것과 같아요.
• ② 꼭짓점: 점 \( (p, q) \)
• ③ 축: 직선 \( x = p \)

이차함수 \( y = ax^2 + bx + c \) 를 표준형으로 변형하면:

\[ y = a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 – \frac{b^2 – 4ac}{4a} \]

즉, 그래프는 다음과 같은 성질을 가져요.

• ① \( y = ax^2 \)의 그래프를 \( x \)-축의 방향으로 \( -\frac{b}{2a} \) 만큼, \( y \)-축의 방향으로 \( -\frac{b^2 – 4ac}{4a} \) 만큼 평행이동한 거예요.
• ② 꼭짓점: 점 \( \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2 – 4ac}{4a} \right) \)
• ③ 축: 직선 \( x = -\frac{b}{2a} \)
• ④ \( y \)-절편: \( c \)

이차함수 \( y = ax^2 \)의 그래프는 포물선이에요. 이를 표준형인 \( y = a(x – p)^2 + q \)로 변형하면:

• \( x \) 대신 \( x – p \), \( y \) 대신 \( y – q \)로 변형한 것과 같아요.
• 즉, 그래프는 \( x \)-축 방향으로 \( p \)만큼, \( y \)-축 방향으로 \( q \)만큼 평행이동해요.
• 그래프의 모양은 \( y = ax^2 \)의 그래프와 동일해요.

이차함수 \( y = ax^2 + bx + c \)를 표준형으로 변형하면:

\[ y = a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 – \frac{b^2 – 4ac}{4a} \]

즉, 이차함수 \( y = ax^2 + bx + c \)의 그래프는:

• \( x \)-축 방향으로 \( -\frac{b}{2a} \) 만큼 이동
• \( y \)-축 방향으로 \( -\frac{b^2 – 4ac}{4a} \) 만큼 이동

따라서 그래프의 모양은 \( y = ax^2 \)의 그래프와 같아요!

(1) \( y = -2(x – 3)^2 + 5 \)

• 꼭짓점: \( (3, 5) \)
• 축의 방정식: \( x = 3 \)
• \( y \)-절편 구하기: \( x = 0 \) 대입하면

\[ y = -2(0 – 3)^2 + 5 = -18 + 5 = -13 \]

• \( y \)-절편: \( -13 \)

(2) \( y = \frac{1}{2}x^2 – 4x + 2 \)

• 꼭짓점: \( \left(4, -6 \right) \) (표준형 변형 이용)
• 축의 방정식: \( x = 4 \)
• \( y \)-절편 구하기: \( x = 0 \) 대입하면

\[ y = \frac{1}{2}(0)^2 – 4(0) + 2 = 2 \]

• \( y \)-절편: \( 2 \)