📌 개념 061: 이차함수의 최대, 최소
🔹 함수의 최댓값과 최솟값
함수 \( y = f(x) \)의 함수값 중에서 가장 큰 값을 최댓값, 가장 작은 값을 최솟값이라고 해요.
🔹 이차함수의 최대, 최소
이차함수 \( y = ax^2 + bx + c \)의 최대, 최소를 구하려면 표준형 \( y = a(x – p)^2 + q \)로 변형하면 쉽게 구할 수 있어요.
- ① \( a > 0 \)이면 \( x = p \)에서 최솟값 \( q \)를 가짐. (최댓값은 없음.)
- ② \( a < 0 \)이면 \( x = p \)에서 최댓값 \( q \)를 가짐. (최솟값은 없음.)
🔹 개념 살펴보기
이차함수의 최대, 최소는 공식만 외우지 말고, 그래프를 떠올려서 이해하는 것이 중요해요!
예를 들어, 이차함수 \( y = x^2 – 4x + 5 \)의 최댓값과 최솟값을 구해볼까요?
이차함수를 표준형으로 변형하면:
\[ y = x^2 – 4x + 5 = (x – 2)^2 + 1 \]
그래프의 모양을 보면 오른쪽 그림과 같고,
\[ y \geq 1 \]
따라서 \( x = 2 \)에서 최솟값 1을 가지며, 최댓값은 없어요.
🔹 개념 확인 문제
다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.
**문제:**
이차함수 \( y = -x^2 – 2x + 3 \)의 최댓값과 최솟값을 구하세요.
✏️ 풀이
이차함수 \( y = -x^2 – 2x + 3 \)를 표준형으로 변형하면:
\[ y = -(x+1)^2 + 4 \]
그래프의 모양을 보면 오른쪽 그림과 같고,
\[ y \leq 4 \]
따라서 \( x = -1 \)에서 최댓값 4를 가지며, 최솟값은 없어요.
💡 참고: \( a > 0 \)이면 \( x = p \)에서 최솟값 \( q \)를 가짐. \( a < 0 \)이면 \( x = p \)에서 최댓값 \( q \)를 가짐.
이제 여러분도 이차함수의 최대, 최소를 쉽게 구할 수 있겠죠? 😊