두 수를 근으로 하는 이차방정식
두 수 \( \alpha, \beta \) 를 근으로 하고 \( x^2 \) 의 계수가 1인 이차방정식은 다음과 같아요.
\( (x – \alpha)(x – \beta) = 0 \Rightarrow x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \)
개념 살펴보기
두 수를 근으로 하는 이차방정식은 근과 계수의 관계를 이용하여
\( x^2 – (\text{두 근의 합})x + (\text{두 근의 곱}) = 0 \)
과 같이 구할 수 있어요.
계수가 분수로 주어진다면, 일반적으로 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 정리하면 돼요.
예를 들어, 두 수 \( \frac{1}{2}, 1 \) 을 근으로 하는 이차방정식은
\( x^2 – \left(\frac{1}{2} + 1\right)x + \frac{1}{2} = 0 \)
즉, \( x^2 – \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0 \) 이에요.
양변에 2를 곱하면,
\( 2x^2 – 3x + 1 = 0 \)
따라서 두 수 \( \alpha, \beta \) 를 근으로 하고 \( x^2 \) 의 계수가 \( a \) 인 이차방정식은 다음과 같이 구할 수 있어요.
\( a(x – \alpha)(x – \beta) = 0 \Rightarrow a(x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha \beta) = 0 \)
개념 확인 문제
다음 이차방정식을 구하세요.
- 두 수 \( 2 + \sqrt{5}, 2 – \sqrt{5} \) 를 근으로 하고 \( x^2 \) 의 계수가 1인 이차방정식
- 두 수 \( 1 + i, 1 – i \) 를 근으로 하고 \( x^2 \) 의 계수가 1인 이차방정식 (단, \( i = \sqrt{-1} \))
- 두 수 \( \frac{3}{2}, \frac{1}{3} \) 을 근으로 하고 \( x^2 \) 의 계수가 6인 이차방정식
풀이
(1) 두 수 \( 2 + \sqrt{5}, 2 – \sqrt{5} \) 를 이용하여
\( x^2 – (2 + \sqrt{5} + 2 – \sqrt{5})x + (2 + \sqrt{5})(2 – \sqrt{5}) = 0 \)
즉, \( x^2 – 4x – 1 = 0 \)
(2) 두 수 \( 1 + i, 1 – i \) 를 이용하여
\( x^2 – (1 + i + 1 – i)x + (1 + i)(1 – i) = 0 \)
즉, \( x^2 – 2x + 2 = 0 \)
(3) 두 수 \( \frac{3}{2}, \frac{1}{3} \) 을 이용하여
\( x^2 – \left( \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \right)x + \left( \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} \right) = 0 \)
\( x^2 – \frac{11}{6}x + \frac{1}{2} = 0 \)
양변에 6을 곱하면,
\( 6x^2 – 11x + 3 = 0 \)
정답:
- \( x^2 – 4x – 1 = 0 \)
- \( x^2 – 2x + 2 = 0 \)
- \( 6x^2 – 11x + 3 = 0 \)