이차방정식의 근과 계수의 관계
이차방정식 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 의 두 근을 \( \alpha, \beta \) 라 하면, 다음 관계가 성립해요.
- \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)
- \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)
- 두 근의 차: \( |\alpha – \beta| = \sqrt{\left( \frac{b}{a} \right)^2 – \frac{4c}{a}} \) (단, \( a, \alpha, \beta \) 는 실수)
개념 살펴보기
이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면, 두 근을 직접 구하지 않고도 합, 곱, 차를 쉽게 구할 수 있어요. 이를 두 가지 방법으로 유도해볼게요.
방법 1
이차방정식 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 의 두 근을 \( \alpha, \beta \) 라고 하면, 근의 공식에 의해
\( \alpha = \frac{-b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}, \quad \beta = \frac{-b – \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \) 입니다.
이를 이용하여 두 근의 합과 곱을 구하면,
- \( \alpha + \beta = \frac{-b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} + \frac{-b – \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = -\frac{b}{a} \)
- \( \alpha \beta = \frac{(-b + \sqrt{b^2 – 4ac})}{2a} \times \frac{(-b – \sqrt{b^2 – 4ac})}{2a} = \frac{c}{a} \)
두 근의 차는 다음과 같이 계산돼요.
\( |\alpha – \beta| = \left| \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{a} \right| = \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{|a|} \)
방법 2
이차방정식 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 의 두 근을 \( \alpha, \beta \) 라 하고, 이를 인수분해하면
\( ax^2 + bx + c = a(x – \alpha)(x – \beta) \) 가 됩니다. \( a \neq 0 \) 이므로 양변을 \( a \) 로 나누면,
\( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = (x – \alpha)(x – \beta) \) 가 돼요.
양변의 계수를 비교하면,
- \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)
- \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)
그리고 두 근의 차는 다음과 같이 구할 수 있어요.
\( |\alpha – \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 – 4\alpha \beta} = \sqrt{\left( \frac{b}{a} \right)^2 – \frac{4c}{a}} \)
개념 확인 문제
이차방정식 \( 2x^2 – 6x + 3 = 0 \) 의 두 근의 합, 곱, 차를 구해볼까요?
풀이
주어진 이차방정식의 두 근을 \( \alpha, \beta \) 라 하면,
- \( \alpha + \beta = \frac{-(-6)}{2} = 3 \)
- \( \alpha \beta = \frac{3}{2} \)
- \( |\alpha – \beta| = \sqrt{\left( \frac{-6}{2} \right)^2 – \frac{4 \times 2 \times 3}{2}} = \sqrt{3} \)
정답:
- 합: 3
- 곱: \( \frac{3}{2} \)
- 차: \( \sqrt{3} \)