계수가 허수인 이차방정식의 근 판별
판별식으로 이차방정식의 근을 판별하는 것은 계수가 모두 실수일 때에만 가능합니다.
그 이유를 알아봅시다.
근의 공식을 이용하여 이차방정식 \( ax^2 + bx + c = 0 \)의 근을 구하면 다음과 같습니다.
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
1. 판별식과 실수 계수
이차방정식 \( ax^2 + bx + c = 0 \)의 판별식 \( D = b^2 – 4ac \)에 대해 \( D > 0 \)이라 하자.
- (i) \( a, b, c \)가 모두 실수이면 \( x \)의 값이 실수가 되므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
- (ii) \( a, c \)가 실수이고 \( b \)가 허수이면 \( x \)의 값이 허수가 된다. 즉, 계수가 허수일 때에는 \( D > 0 \)이지만 서로 다른 두 허근을 가질 수도 있다.
예를 들어, 이차방정식 \( x^2 – 3ix – 3 = 0 \) \( (i^2 = -1) \)의 판별식을 \( D’ \)이라 하면
\[ D’ = (-3i)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 3 > 0 \]
근의 공식을 이용하면
\[ x = \frac{-(-3i) \pm \sqrt{(-3i)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{3i \pm \sqrt{3}}{2} \]
즉, \( D’ > 0 \)이지만 이차방정식 \( x^2 – 3ix – 3 = 0 \)은 서로 다른 두 허근을 갖는다.
2. 판별식이 0일 때
한편, \( D = 0 \)인 경우에는 계수가 허수일 때에도 서로 같은 두 근을 갖는다. 그러나 그 근이 반드시 실근이라고는 할 수 없다.
예를 들어, 이차방정식 \( x^2 + 2ix – 1 = 0 \)의 판별식을 \( D” \)이라 하면
\[ D” = i^2 – 1 \cdot (-1) = 0 \]
근의 공식을 이용하면
\[ x = \frac{-i \pm \sqrt{i^2 – 1 \cdot (-1)}}{1} = -i \]
즉, \( D” = 0 \)이지만 이차방정식 \( x^2 + 2ix – 1 = 0 \)은 서로 같은 두 허근을 갖는다.
이와 같이 계수가 허수인 이차방정식의 근은 판별식만으로는 정확히 판별할 수 없습니다.