음수의 제곱근
임의의 양수 \( a \)에 대해, 음수의 제곱근은 다음과 같이 정의돼요.
\[ \sqrt{-a} = \pm \sqrt{a} i \]
개념 살펴보기
음수의 제곱근을 이해하려면 허수단위 \( i \)를 사용해야 해요. 양수 \( a \)의 제곱근은 \( \pm \sqrt{a} \)지만, 음수의 경우에는 다음과 같이 변형할 수 있어요.
\[ \sqrt{-a} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{a} i \]
따라서, 음수의 제곱근은 항상 허수 형태로 나타나요.
개념 확인 문제 1
다음 수를 허수단위 \( i \)를 사용하여 나타내세요.
- \( \sqrt{-3} \)
- \( \sqrt{-9} \)
- \( \sqrt{-5} \)
- \( \sqrt{-8} \)
풀이:
- \( \sqrt{-3} = \sqrt{3} i \)
- \( \sqrt{-9} = \sqrt{9} i = 3i \)
- \( \sqrt{-5} = \sqrt{5} i \)
- \( \sqrt{-8} = \sqrt{8} i = 2\sqrt{2}i \)
따라서 정답은 ① \( \sqrt{3} i \), ② \( 3i \), ③ \( \sqrt{5} i \), ④ \( 2\sqrt{2} i \)입니다.
개념 확인 문제 2
다음 수의 제곱근을 구하세요.
- \( -3 \)
- \( -16 \)
- \( -12 \)
- \( -20 \)
풀이:
- \( \sqrt{-3} = \pm \sqrt{3} i \)
- \( \sqrt{-16} = \pm \sqrt{16} i = \pm 4i \)
- \( \sqrt{-12} = \pm \sqrt{12} i = \pm 2 \sqrt{3} i \)
- \( \sqrt{-20} = \pm \sqrt{20} i = \pm 2 \sqrt{5} i \)
따라서 정답은 ① \( \pm \sqrt{3} i \), ② \( \pm 4i \), ③ \( \pm 2 \sqrt{3} i \), ④ \( \pm 2 \sqrt{5} i \)입니다.