켤레복소수의 성질
복소수 \( z_1, z_2 \)와 각각의 켤레복소수 \( \overline{z_1}, \overline{z_2} \)에 대해 다음이 성립해요.
\[ \overline{(z_1)} = \overline{z_1} \] \[ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \] \[ \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \] \[ \overline{\frac{z_1}{z_2}} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \quad (단, \ z_2 \neq 0) \]
개념 살펴보기
복소수 \( z_1 = a + bi \) (단, \( a, b \)는 실수)라 할 때, 위의 성질을 확인해볼 수 있어요.
- \( \overline{z_1} = \overline{a + bi} = a – bi \)로, 켤레복소수의 정의를 만족해요.
- \( z_1 + \overline{z_1} = (a + bi) + (a – bi) = 2a \)로 실수예요.
- \( z_1 \cdot \overline{z_1} = (a + bi)(a – bi) = a^2 + b^2 \)로 실수예요.
따라서, \( z_1 = \overline{z_1} \)이면 \( z_1 \)은 실수이고, \( z_1 = -\overline{z_1} \)이면 \( z_1 \)은 순허수 또는 0이에요.
개념 확인 문제
\( z = 2 – i \)일 때, \( z + \overline{z} \)와 \( z \cdot \overline{z} \)의 값을 구하세요. (단, \( \overline{z} \)는 \( z \)의 켤레복소수예요.)
풀이:
- \( \overline{z} = 2 + i \)이므로,
- \( z + \overline{z} = (2 – i) + (2 + i) = 4 \)
- \( z \cdot \overline{z} = (2 – i)(2 + i) = 4 – (-1) = 5 \)
따라서 정답은 ① \( 4 \), ② \( 5 \)입니다.