i^n의 계산
\( i^n \) (단, \( n \)은 자연수)는 \( i, -1, -i, 1 \)이 반복되어 나타나요. 따라서 다음과 같은 규칙성을 찾을 수 있어요.
\[ i^4 = 1, \quad i^{4k+1} = i, \quad i^{4k+2} = -1, \quad i^{4k+3} = -i \] (단, \( k \)는 자연수)
개념 살펴보기
\( i \)의 거듭제곱을 차례로 구하면 다음과 같아요.
\[ i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, \quad i^5 = i \]
이처럼 \( i \)의 거듭제곱은 4개의 값 \( i, -1, -i, 1 \)이 반복되므로, \( i^n \)의 값은 \( n \)을 4로 나눈 나머지에 따라 결정돼요.
- \( n = 4k \)이면 \( i^n = 1 \)
- \( n = 4k+1 \)이면 \( i^n = i \)
- \( n = 4k+2 \)이면 \( i^n = -1 \)
- \( n = 4k+3 \)이면 \( i^n = -i \)
개념 확인 문제
다음을 간단히 하세요.
- \( i^{999} \)
- \( (-\sqrt{2}i)^5 \)
- \( \frac{1}{i} + \frac{1}{i^2} + \frac{1}{i^3} + \frac{1}{i^4} \)
풀이:
- \( i^{999} = i^{4 \times 249 + 3} = i^3 = -i \)
- \( (-\sqrt{2}i)^5 = (-\sqrt{2})^5 \cdot i^5 = -4\sqrt{2} \cdot i \cdot i = -4\sqrt{2}i \)
- \[ \frac{1}{i} + \frac{1}{i^2} + \frac{1}{i^3} + \frac{1}{i^4} = -i – 1 + i + 1 = 0 \]
따라서 정답은 ① \(-i\), ② \(-4\sqrt{2}i\), ③ \(0\)입니다.