고등수학개념사전 034복수수의 곱셈

복소수의 곱셈

1. 복소수의 곱셈

복소수 \( (a + bi) \)와 \( (c + di) \)의 곱셈은 다음과 같이 계산해요.

2. 복소수의 연산 법칙

세 복소수 \( z_1, z_2, z_3 \)에 대해 다음과 같은 연산 법칙이 성립해요.

• 교환법칙: \( z_1 z_2 = z_2 z_1 \)
• 결합법칙: \( (z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3) \)
• 분배법칙: \( z_1 (z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3 \)

참고: 복소수에서도 곱셈에 대해 결합법칙과 분배법칙이 성립해요.

개념 살펴보기

허수단위 \( i \)를 문자처럼 생각하고 전개한 후, \( i^2 = -1 \)을 이용하여 계산하면 돼요.
예를 들어,

개념 확인 문제

다음을 계산하세요.

1. \( (1 + i)(2 – 3i) \)
2. \( (-1 + 2i)(5 – 6i) \)
3. \( (2 + i)^2 \)
4. \( (\sqrt{5} + 2i)(\sqrt{5} – 2i) \)

풀이:

• \( (1 + i)(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i^2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i \)
• \( (-1 + 2i)(5 – 6i) = -5 + 6i – 10i + 12i^2 = -5 + 6i – 10i – 12 = -17 – 4i \)
• \( (2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i \)
• \( (\sqrt{5} + 2i)(\sqrt{5} – 2i) = (\sqrt{5})^2 – (2i)^2 = 5 – 4(-1) = 5 + 4 = 9 \)

따라서 정답은 ① \(5 – i\), ② \(-17 – 4i\), ③ \(3 + 4i\), ④ \(9\)입니다.