켤레복소수
복소수 \( a + bi \) (단, \( a \)는 실수)에 대해 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 \( a – bi \)를 켤레복소수라고 해요.
이때, 이를 기호로 \( \overline{a+bi} \)처럼 나타낼 수 있어요.
\[ \overline{a+bi} = a – bi, \quad a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R} \]
참고: 켤레복소수는 \( \overline{z} \)로 나타내며, 이를 “bar z”라고 읽어요.
개념 살펴보기
복소수 \( 2 + 3i \)의 허수부분의 부호를 바꾸면 \( 2 – 3i \)가 돼요. 따라서 \( 2 + 3i \)의 켤레복소수는 \( 2 – 3i \)예요.
반대로, 복소수 \( 2 – 3i \)의 허수부분의 부호를 바꾸면 \( 2 + 3i \)가 되므로, 이 두 복소수는 서로 켤레복소수 관계에 있어요.
실수부분은 서로 같고, 허수부분만 부호가 다른 두 복소수는 서로 켤레복소수예요.
개념 확인 문제
다음 복소수의 켤레복소수를 구하세요.
- \( 2 + i \)
- \( \frac{3}{2} – \frac{2}{3}i \)
- \( 1 + \sqrt{2} \)
- \( -i \)
풀이:
- \( \overline{2 + i} = 2 – i \)
- \( \overline{\frac{3}{2} – \frac{2}{3}i} = \frac{3}{2} + \frac{2}{3}i \)
- \( \overline{1 + \sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2} \) (실수는 본인이 그대로 켤레복소수예요.)
- \( \overline{-i} = i \)
따라서 정답은 ① \(2 – i\), ② \(\frac{3}{2} + \frac{2}{3}i\), ③ \(1 + \sqrt{2}\), ④ \(i\)입니다.