문제 풀이의 핵심과 전략
이 문제의 핵심은 함수 \( f(x) = x^2 + 2x – 3 \)의 음수 부분을 절댓값을 이용해 양수로 만든 후, 원래 값과 절댓값을 평균한 새로운 함수 \( g(x) \)의 그래프를 이해하는 것이에요. \( g(x) = \frac{f(x) + |f(x)|}{2} \)는 \( f(x) \)의 그래프에서 음수 부분을 \( x \)-축 위로 접은 형태가 됩니다. 즉, \( f(x) \)의 그래프를 바탕으로, \( g(x) \)의 대칭성, 특정 값에서의 해, 부등식의 해를 분석하는 것이 이 문제의 포인트예요.
풀이 전략
- 함수 \( f(x) \)의 그래프의 특징을 파악하기: 꼭지점, 대칭축, \( x \)-축과의 교점을 구해요.
- 함수 \( g(x) \)의 정의를 이해하기: 절댓값을 적용해 \( f(x) \)의 음수 부분이 0이 되도록 만들고, \( g(x) \)의 그래프가 어떻게 변하는지 확인해요.
- 보기의 각 조건을 \( g(x) \)의 그래프를 통해 하나씩 검토하기.
1. 주어진 함수 \( f(x) = x^2 + 2x – 3 \) 이해하기
먼저 함수 \( f(x) = x^2 + 2x – 3 \)을 살펴보겠습니다. 이 함수는 이차함수로, 그래프가 포물선 모양이에요. 이차함수의 그래프는 보통 아래나 위로 휘어진 곡선이 됩니다. 주어진 함수 \( f(x) \)는 아래로 벌어진 포물선이에요.
\( f(x) \)의 주요 특징
- 꼭지점: 꼭지점은 그래프가 제일 낮거나 높은 점이에요. 이 함수에서 꼭지점은 \( x = -1 \)일 때 나타나요. \( x = -1 \)일 때의 함수 값을 계산하면 \( f(-1) = -4 \)가 되니까, 꼭지점은 \((-1, -4)\)에 있어요.
- 대칭축: 이차함수의 그래프는 가운데를 기준으로 좌우 대칭이 되는데, 이 함수는 \( x = -1 \)을 중심으로 대칭이에요.
- 근: 근은 \( f(x) = 0 \)이 되는 \( x \) 값, 즉 \( x \)-축과 만나는 점이에요. \( f(x) = 0 \)이 되게 하는 값을 찾아보면 \( x = -3 \)과 \( x = 1 \)에서 \( x \)-축과 만납니다.
2. 새로운 함수 \( g(x) = \frac{f(x) + |f(x)|}{2} \) 이해하기
이제 \( g(x) = \frac{f(x) + |f(x)|}{2} \)라는 새로운 함수에 대해 알아볼게요. 여기서 중요한 점은 절댓값이에요. 절댓값은 어떤 숫자의 부호를 없애서 무조건 양수로 만드는 거예요.
절댓값 적용의 의미
- \( |f(x)| \)는 \( f(x) \)의 값이 양수이면 그대로 두고, 음수이면 양수로 바꿔요. 예를 들어, \( f(x) = -2 \)일 때 \( |f(x)| = 2 \)가 되고, \( f(x) = 3 \)일 때는 \( |f(x)| = 3 \)이 그대로 유지됩니다.
\( g(x) \)에서는 \( f(x) \)와 \( |f(x)| \)를 더한 후 2로 나누었어요. 이때 \( f(x) \)가 양수이면 \( g(x) = f(x) \)가 되고, \( f(x) \)가 음수이면 \( g(x) = 0 \)이 됩니다. 즉, \( g(x) \)는 \( f(x) \)의 음수 부분이 \( x \)-축 위로 접혀서 0이 되는 그래프가 되는 거예요.
3. 문제에서 물어보는 조건을 하나씩 확인해보기
보기 ㄱ: \( y = g(x) \)의 그래프는 \( x = -1 \)에 대해 대칭이다.
앞에서 \( f(x) \)가 \( x = -1 \)을 중심으로 대칭이라고 했어요. \( g(x) \)도 \( f(x) \)의 음수 부분을 \( x \)-축 위로 접은 것이기 때문에, \( g(x) \) 역시 \( x = -1 \)을 중심으로 대칭이에요. 따라서 보기 ㄱ은 맞아요.
보기 ㄴ: 방정식 \( g(x) = 3 \)은 서로 다른 두 실근을 가진다.
이제 \( g(x) = 3 \)일 때의 \( x \) 값을 구해볼게요. \( g(x) \)에서 \( g(x) = f(x) \)인 부분을 살펴보면, \( f(x) = 3 \)일 때도 성립하겠죠. 그러니까 \( f(x) = 3 \)이 되는 \( x \) 값을 찾아보면 됩니다.
- \( f(x) = 3 \)이라고 놓고 풀어보면, 이차방정식 \( x^2 + 2x – 6 = 0 \)이 나옵니다.
- 이 방정식은 서로 다른 두 근을 가져요. 따라서 \( g(x) = 3 \)도 서로 다른 두 실근을 가집니다. 그래서 보기 ㄴ도 맞아요.
보기 ㄷ: 부등식 \( g(x) \leq 0 \)의 해는 \( -3 \leq x \leq 1 \)이다.
마지막으로 \( g(x) \leq 0 \)인 부분을 살펴볼게요. \( g(x) \)에서 \( f(x) \)가 음수일 때 \( g(x) = 0 \)이 된다고 했죠. 그래서 \( f(x) \leq 0 \)인 구간이 바로 \( g(x) \leq 0 \)인 구간이에요.
- \( f(x) = 0 \)이 되는 지점은 \( x = -3 \)과 \( x = 1 \)이에요.
- 이 사이 구간인 \( -3 \leq x \leq 1 \)에서 \( f(x) \leq 0 \)이 성립하니까, \( g(x) \leq 0 \)도 \( -3 \leq x \leq 1 \)에서 성립해요.
따라서 보기 ㄷ도 맞아요.
결론
모든 보기 \( ㄱ, ㄴ, ㄷ \)가 맞기 때문에, 정답은 \( ⑤ \)번입니다.