지수법칙 (Exponent Rules)
문자를 포함한 식을 계산할 때 가장 기본이 되는 규칙입니다. 밑(base)이 같을 때 지수(exponent)끼리 어떻게 계산하는지 5가지 핵심 법칙을 알아봅시다.
1. 지수법칙의 5가지 공식
전제 조건: a, b는 실수이고 m, n이 자연수일 때
-
① 곱셈공식 (지수의 합)
am × an = am+n
밑이 같을 때 곱셈은 지수끼리 더합니다. -
② 나눗셈공식 (지수의 차)
am ÷ an은 m과 n의 크기에 따라 나뉩니다. (단, a ≠ 0)
- (m > n) :
am-n - (m = n) :
1 - (m < n) : 1an-m
- (m > n) :
-
③ 거듭제곱의 거듭제곱 (지수의 곱)
(am)n = amn
괄호가 있으면 지수끼리 곱합니다. -
④ 곱의 거듭제곱 (분배법칙)
(ab)n = anbn
지수를 괄호 안의 모든 문자에 분배합니다. -
⑤ 분수의 거듭제곱
(b/a)n = bn / an(단, a ≠ 0)
분모와 분자 모두에 지수를 분배합니다.
2. 개념 접근 (쉽게 이해하기)
공식을 무작정 외우기보다 ‘문자가 곱해진 횟수’라고 생각하면 쉽습니다.
Remark (심화 팁):
나눗셈에서 경우를 나누는 것이 복잡하다면, 다음 두 가지를 기억하세요.
a0 = 1(0제곱은 항상 1)a-n = 1/an(음수 지수는 역수)
이것을 이용하면 m, n의 크기와 상관없이 항상 am ÷ an = am-n 공식 하나로 해결됩니다.
3. 개념 체크 (연습 문제)
다음 식을 간단히 정리해 봅시다.
Q. 다음 식을 계산하시오.
(1) -ab³ × 2a²b²
= (숫자끼리) -1 × 2 = -2
= (a끼리) a¹ × a² = a³
= (b끼리) b³ × b² = b⁵
답: -2a³b⁵
(2) (-x²y)³ × (-3x³)
= -x⁶y³ × -3x³ (앞부분 세제곱 분배)
= (-1 × -3) × (x⁶ × x³) × y³
답: 3x⁹y³
(3) 3x³y² × 2yz² ÷ (-x²z)
= 6x³y³z² ÷ (-x²z) (먼저 곱셈 계산)
= 부호는 (-), 6÷1=6, x³÷x²=x, y³(그대로), z²÷z=z
답: -6xy³z
(4) (a/b²)² × (-b/a²)³
= a²/b⁴ × (-b³/a⁶) (각각 거듭제곱 풀기)
= 부호는 (-)
= 분자는 a²·b³, 분모는 b⁴·a⁶
= 약분하면 분모에 a⁴, b가 남음
답: -1a⁴b
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