다항식의 정리 방법
다항식은 복잡하게 흩어져 있는 항들을 동류항끼리 모아서 정리하면 훨씬 간단하게 나타낼 수 있습니다. 이때 사용하는 두 가지 대표적인 방법이 있습니다.
1. 내림차순과 오름차순
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내림차순 (Descending Order)
한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 방법입니다.
(예: 3차 → 2차 → 1차 → 상수항) -
오름차순 (Ascending Order)
한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 방법입니다.
(예: 상수항 → 1차 → 2차 → 3차)
※ Remark: 문제에서 특별한 언급이 없으면 다항식은 주로 내림차순으로 정리합니다.
2. 식을 정리하는 핵심 요령
다항식을 정리할 때는 기준이 되는 문자를 정하는 것이 가장 중요합니다. 기준이 되는 문자를 제외한 나머지 문자는 모두 상수(숫자)로 취급합니다.
예시 1: 다항식 P 정리하기
다항식 P = 3x - 1 + 5x² - x³ 을 정리해 봅시다.
- 내림차순:
-x³ + 5x² + 3x - 1(높은 차수 → 낮은 차수) - 오름차순:
-1 + 3x + 5x² - x³(낮은 차수 → 높은 차수)
예시 2: 다항식 Q (문자가 2개일 때)
다항식 Q = x² + 3xy + 2y² - x + y + 7 을 x에 대하여 정리해 봅시다.
(Tip: x가 없는 y항들은 모두 상수항 취급합니다)
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내림차순:
x² + (3y - 1)x + (2y² + y + 7) -
오름차순:
(2y² + y + 7) + (3y - 1)x + x²
3. 일반적인 정리 꼴 (Form)
x에 대한 내림차순과 오름차순 정리의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.
| 구분 | 내림차순 (Descending) | 오름차순 (Ascending) |
|---|---|---|
| 일차식 | ax + b | b + ax |
| 이차식 | ax² + bx + c | c + bx + ax² |
| 삼차식 | ax³ + bx² + cx + d | d + cx + bx² + ax³ |
(단, a ≠ 0)
이렇게 식을 정리하는 것은 마치 사람들이 예쁘게 꾸미거나 옷을 단정하게 입는 것처럼, 식을 보기 좋게 하여 계산의 효율과 활용도를 높이려는 의도입니다.
4. 개념 체크 (연습 문제)
Q. 다음 식을 정리하시오.
다항식 ax² - bxy + czx² + x³y + 7y²
(1) x에 대한 내림차순
yx³ + (a + cz)x² - byx + 7y²
(해설: x가 3번 곱해진 항이 가장 높으므로 맨 앞, 그 다음 x², x 순서로 묶습니다.)
(2) y에 대한 오름차순
(ax² + czx²) + (x³ - bx)y + 7y²
(해설: y가 없는 항(상수 취급)을 맨 앞에, 그 다음 y가 1개, 2개인 항 순서로 나열합니다.)
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