다항식의 덧셈에 대한 연산 법칙
숫자를 더할 때 순서를 바꿔도 결과가 같은 것처럼, 다항식의 덧셈에서도 성립하는 중요한 법칙들이 있습니다. 이 법칙들 덕분에 복잡한 식을 원하는 순서대로 편하게 계산할 수 있습니다.
1. 교환법칙과 결합법칙
다항식 A, B, C에 대하여 다음 법칙이 항상 성립합니다.
-
① 교환법칙 (Commutative Law)
A + B = B + A
더하는 순서를 서로 바꾸어도 그 결과는 같습니다. -
② 결합법칙 (Associative Law)
(A + B) + C = A + (B + C)
어느 두 다항식을 먼저 더하든 그 결과는 같습니다.
※ Remark: 결합법칙이 성립하므로, 3개 이상의 다항식을 더할 때는 괄호를 생략하여 A + B + C와 같이 나타낼 수 있습니다.
2. 법칙의 확인 (예시)
실제 다항식을 대입해보면 이 법칙들이 어떻게 성립하는지 눈으로 확인할 수 있습니다.
세 다항식이 다음과 같을 때:
A = 2x² - 5x + 3
B = x² - 2
C = -x² + x
(1) 교환법칙 확인
A + B= (2x² – 5x + 3) + (x² – 2) = 3x² – 5x + 1B + A= (x² – 2) + (2x² – 5x + 3) = 3x² – 5x + 1
∴ A + B = B + A
(2) 결합법칙 확인
(A + B) + C= (3x² – 5x + 1) + (-x² + x) = 2x² – 4x + 1A + (B + C)= A + (x – 2) = (2x² – 5x + 3) + (x – 2) = 2x² – 4x + 1
∴ (A + B) + C = A + (B + C)
3. 개념 체크 (연습 문제)
계산 과정에서 어떤 법칙이 사용되었는지 빈칸을 채우며 확인해 봅시다.
Q. 다음 계산 과정에 알맞은 연산 법칙은?
식: (3x³ + 4x² + 6) + (x² - 2)
= 3x³ + 4x² + (6 + x²) – 2
↓ (6과 x²의 자리가 바뀜)
= 3x³ + 4x² + (x² + 6) – 2 — (가)
= 3x³ + (4x² + x²) + (6 – 2)
↓ (묶는 순서가 바뀜)
= 3x³ + 5x² + 4 — (나)
정답 및 해설:
- (가) 교환법칙: 6 + x² 의 순서를 x² + 6 으로 바꾸었습니다.
- (나) 결합법칙: 동류항끼리 계산하기 위해 괄호를 묶어 순서를 재조정했습니다.
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