문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)=ax²(0≤x<2)이고 준주기 f(x+2)=f(x)+2에 x=0을 넣으면 f(2)=f(0)+2=0+2=2. f는 연속이므로 x=2 이음매에서 lim(x→2⁻)ax²=f(2), 즉 4a=2 → a=½. 조각함수에서 상수 결정은 언제나 '끊기는 점에서 이어붙는다'는 연속조건으로 방정식을 만든다.
◀ a를 구하는 열쇠는 이음매(x=2)의 연속조건뿐
한 주기[0,2)의 넓이를 S=∫₀² ½x²dx라 하면, 다음 칸[2,4)는 그래프가 위로 2 올라간 것이라 넓이는 S+(밑변2×높이2)=S+4, 그 다음[4,6)은 S+8. 준주기 그래프의 넓이는 '기본 넓이 S + 올라간 직사각형'으로 층층이 쌓아 읽어라.
◀ 위로 평행이동한 만큼 직사각형 넓이가 추가된다
∫₁⁷ f(x)dx = ∫₀⁶ f(x)dx + (어긋난 조각 보정). 준주기로 ∫₀¹과 ∫₆⁷의 관계를 쓰면 결국 ∫₀⁶(3주기)=3∫₀²½x²dx + 직사각형들(2×2 + 2×4 + 1×6). 계산하면 3·[⅙x³]₀² + 4+8+6 = 4+18 = 22. 지저분한 구간은 '깔끔한 정수구간 + 직사각형'으로 분해하라.
◀ 이 문제의 출제 포인트 : 준주기 넓이 누적 계산
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 먼저 연속조건으로 a=½을 확정한다. 그다음 준주기 f(x+2)=f(x)+2를 '한 칸 갈 때마다 그래프가 위로 2씩 올라간다'로 해석해, ∫₁⁷을 온전한 3주기 ∫₀⁶와 어긋난 직사각형 조각들로 분해하는 것이 핵심이다.
실수 포인트 ① : 연속조건에서 좌극한 lim(x→2⁻)ax²를 f(2)가 아니라 f(0)에 맞추는 실수. 반드시 f(2)=2에 이어붙여야 4a=2가 된다.
실수 포인트 ② : 위로 올라간 직사각형 넓이(2×2, 2×4)를 빠뜨리고 곡선 넓이만 더하는 실수. 평행이동으로 더해진 상수 몫을 직사각형으로 꼭 챙겨라.
실수 포인트 ③ : ∫₁⁷과 ∫₀⁶의 구간 차이(맨 앞 [0,1] 뺀 것, 맨 뒤 [6,7] 더한 것)를 뒤섞는 실수. 어긋난 조각의 밑변·높이를 그림으로 확인하라.
정답 : ③ (∫₁⁷ f(x)dx = 22)