문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
∫₃⁶ f(x)dx를 계산할 때 f(x)=f(x-3)+4를 대입하면 ∫₃⁶{f(x-3)+4}dx가 된다. 여기서 ∫₃⁶ f(x-3)dx는 그래프를 3만큼 되돌린 것이라 ∫₀³ f(x)dx=1과 같고, 남은 ∫₃⁶ 4dx=[4x]₃⁶=24-12=12. 합쳐서 1+12=13. 준주기 관계는 '다음 칸 적분 = 이전 칸 적분 + (더해지는 상수)×(구간길이)'로 외워라.
◀ 한 칸 옆의 적분은 반드시 앞 칸 적분값으로 되돌려 계산한다
f가 부호를 안 바꾸면 |∫f|=∫|f|여야 한다. 그런데 [0,3]에서 ∫f=1, ∫|f|=5로 값이 어긋난다 → 이 구간에서 f가 음수→양수로 부호를 바꾼다. 증가함수이므로 교점 x=α에서 딱 한 번 f(α)=0을 지난다. 넓이 문제는 항상 |f|로 물으니 부호 전환점을 먼저 잡아라.
◀ ∫f ≠ ∫|f| 는 '그 안에서 부호가 바뀐다'는 신호
f는 증가함수이고 f(3)>0이므로 x≥3에서는 계속 양수 → ∫₃⁶|f(x)|dx=∫₃⁶ f(x)dx=13. 앞 구간은 ∫₀³|f(x)|dx=5(주어짐). 따라서 구하는 넓이 ∫₀⁶|f(x)|dx=5+13=18. 절댓값은 부호가 일정한 칸에서만 안심하고 벗겨라.
◀ 이 문제의 출제 포인트 : 준주기 평행이동 + 절댓값 처리
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 구하는 넓이는 ∫₀⁶|f(x)|dx다. 이걸 [0,3]과 [3,6] 두 칸으로 쪼갠다. [0,3]은 ∫|f|=5가 그대로 주어졌고, [3,6]은 f>0이라 |f|=f로 벗긴 뒤 준주기 f(x)=f(x-3)+4를 대입해 ∫₀³ 적분값으로 되돌리는 것이 핵심이다.
실수 포인트 ① : [0,3]에서 넓이를 ∫f=1로 착각하는 실수. 부호가 바뀌는 구간이라 넓이는 반드시 ∫|f|=5를 써야 한다.
실수 포인트 ② : ∫₃⁶ 4dx를 빼먹거나 12가 아닌 4로 계산하는 실수. 상수 4를 [3,6]에서 적분하면 4×3=12다.
실수 포인트 ③ : [3,6]에서 습관적으로 절댓값을 살려 계산을 복잡하게 만드는 실수. 증가함수라 이미 f>0이니 그냥 벗겨라.
정답 : ④ (넓이 = 18)