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조건 (가) -1≤x≤1에서 f(-x)=-f(x)는 홀함수(원점대칭)라는 뜻. 원점대칭 구간의 정적분은 항상 ∫₋₁¹ f(x)dx=0. 계산 한 줄도 없이 값이 확정된다. 'f(-x)=-f(x)' 문장을 보면 대칭구간 적분 0을 반사적으로 떠올려라.
◀ 홀함수+대칭구간 = 정적분 0 (공짜로 얻는 정보)
∫₁² f(x)dx=∫₋₁²-∫₋₁¹=5/3-0=5/3. 여기에 f(x)=f(x-2)+2를 넣으면 ∫₁²{f(x-2)+2}dx=∫₁²f(x-2)dx+[2x]₁²=∫₋₁⁰f(x)dx+2. 이게 5/3이므로 ∫₋₁⁰ f(x)dx=5/3-2=-1/3. 준주기는 적분구간을 2 밀 때마다 ∫2dx=2×(구간길이)라는 상수만 붙는다.
◀ f(x)=f(x-2)+2로 바꾸면 구간이 2 왼쪽으로 이동한다
∫₀¹=∫₋₁¹-∫₋₁⁰=0-(-1/3)=1/3. ∫₁³은 준주기로 ∫₋₁¹+[2x]₁³=0+4=4. ∫₃⁵=∫₁³+4=8. 따라서 3∫₀⁵=3(1/3+4+8)=3×37/3=37. 준주기 함수는 정수 경계로 잘라 '앞 칸 값 + 상수 4'로 층층이 쌓아 올린다.
◀ 이 문제의 출제 포인트 : 홀함수 + 준주기 결합
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 조건을 각각 번역한다. (가) 홀함수 → ∫₋₁¹=0, (나) 준주기 → f(x)=f(x-2)+2로 구간을 2씩 밀며 상수 2×(구간길이)만 더해진다. 이 둘을 결합해 ∫₀⁵를 정수 칸 ∫₀¹·∫₁³·∫₃⁵로 쪼개 하나씩 되돌리는 것이 핵심이다.
실수 포인트 ① : ∫₋₁²=5/3에서 곧장 무언가를 구하려다 막히는 실수. 먼저 ∫₋₁²=∫₋₁¹+∫₁²로 쪼개고, 홀함수로 ∫₋₁¹=0을 없애야 ∫₁²=5/3이 나온다.
실수 포인트 ② : 준주기 대입 시 상수항 ∫2dx를 빠뜨리는 실수. f(x)=f(x-2)+2의 +2는 적분하면 2×(구간길이)로 반드시 살아난다.
실수 포인트 ③ : 마지막에 3을 곱하는 것을 잊는 실수. 구하는 값은 ∫₀⁵가 아니라 3∫₀⁵이므로, 3×(37/3)=37로 마무리한다.
정답 : 37