문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f'(x)는 이차함수(아래로 볼록 포물선)다. f'(1−x)=f'(1+x)는 x=1을 축으로 좌우가 똑같다는 뜻이니 대칭축이 x=1. 문장을 ‘축=1’로 번역하면 3x²+2ax+b의 축 −a/3=1 → a=−3이 바로 나온다.
◀ ‘두 값이 같다’ 조건은 대칭축을 지목하는 문장이다
극대점 x=−1을 알고 축이 x=1이면 극소점은 반대편 x=3(−1과 3의 평균이 1). f’의 근이 −1, 3임을 그래프로 먼저 확정한 뒤 f'(−1)=0, f'(3)=0 두 식으로 a, b를 잡는다.
◀ 대칭축 + 극점 하나 = 나머지 극점은 공짜
f(x)=x³−3x²−9x+c에서 극댓값 f(−1)=5+c, 극솟값 f(3)=−27+c. 차는 (5+c)−(−27+c)=32로 c가 사라진다. ‘차’만 물으면 상수항은 미지수로 남긴 채 끝까지 밀어라.
◀ ‘차’를 물으면 상수항 c는 계산하지 마라
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건 (나)의 f'(1−x)=f'(1+x)를 ‘도함수의 대칭축이 x=1’로 번역하는 게 열쇠다. 그러면 극대점 −1의 반사점 3이 극소점으로 공짜로 나오고, f'(−1)=0·f'(3)=0 두 식으로 계수가 결정된다. 마지막에 극값의 차는 상수 c가 소거되어 32.
실수 포인트 ① : f'(1−x)=f'(1+x)를 f(x)의 대칭으로 착각하는 실수. 대칭인 건 f가 아니라 도함수 f’다.
실수 포인트 ② : 극점을 −1 하나만 쓰고 다른 극점을 못 찾아 식이 하나 모자라는 실수. 축 대칭으로 x=3을 반드시 세워라.
실수 포인트 ③ : 상수 c를 억지로 구하려다 조건이 부족해 막히는 실수. 차는 c가 소거되니 그냥 놔둬라.
정답 : 32