문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
대칭축은 x=2. x=1에서 극소면 대칭인 x=3에서도 극소, 가운데 x=2에서 극대다. 사차함수(∪∩∪ 모양)의 세 극점이 1, 2, 3으로 확정된다. 계수 3개를 방정식으로 푸는 대신 대칭으로 극점부터 잡아라.
◀ f(p+x)=f(p−x) ⇒ x=p 대칭, 극점은 축 좌우로 짝
극점이 1, 2, 3이고 f의 최고차항이 x⁴이라 f′의 최고차 계수는 4. 그래서 f′(x)=4(x−1)(x−2)(x−3). 전개하면 f′(x)=4x³−24x²+44x−24. 이걸 4x³+3ax²+2bx+c와 비교해 a=−8, b=22, c=−24를 한 번에 얻는다.
◀ 극점 위치를 알면 도함수를 근으로 조립 — 계수 4 잊지 마라
극대는 축 x=2에서 난다. f(x)=x⁴−8x³+22x²−24x에 x=2를 넣으면 16−64+88−48=−8. 즉 극댓값 α=−8이고 구하는 값은 α²=64. 극값은 극점 좌표를 함수에 대입해서 구하는 것을 잊지 마라.
◀ 극값을 구할 땐 극점의 x를 원함수에 대입
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건 (가)가 대칭축 x=2를, (나)가 극점 하나(x=1)를 준다. 대칭으로 극점 1, 2, 3을 확보하면 도함수를 f′(x)=4(x−1)(x−2)(x−3)으로 근 조립해 계수를 단번에 얻는다. 극댓값은 축 x=2 대입.
실수 포인트 ① : 극소가 x=1 하나뿐이라 생각해 극점을 1, 2만 잡는 실수. 대칭축 x=2 기준 x=1의 짝은 x=3(여기도 극소), 축 x=2에는 극대. 극점은 셋이다.
실수 포인트 ② : f′(x)를 (x−1)(x−2)(x−3)으로만 두고 최고차 계수 4를 빠뜨리는 실수. f=x⁴이면 f′의 최고차는 4x³이라 계수 4가 반드시 붙는다.
실수 포인트 ③ : 극댓값을 엉뚱한 x에 대입하거나, α²을 구하라는데 α로 답하는 실수. 극대는 x=2 → f(2)=−8 → α²=64.
정답 : ⑤ (α²=64)