문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
조건 (나) limx→2[f(x)−g(x)]/(x−2)=2에서 x→2일 때 분모 (x−2)→0인데 극한값 2가 존재한다. 분모가 0으로 가는데 극한이 유한하려면 분자도 반드시 0으로 가야 한다. 즉 f(2)−g(2)=0 → f(2)=g(2). 0/0 꼴로 강제되는 이 조건이 문제의 첫 단추다.
◀ 분모→0 & 극한 존재 ⇒ 분자→0 (0/0 강제)
(가) g(x)=x³f(x)−7에 x=2 대입하면 g(2)=8f(2)−7. 여기에 f(2)=g(2)를 넣어 f(2) 자리를 g(2)로 바꾸면 g(2)=8g(2)−7 → −7g(2)=−7 → g(2)=1. 미지수를 자기 자신으로 표현해 방정식을 만드는 발상이다. 결국 f(2)=g(2)=1.
◀ f(2)=g(2) 대입 → 자기참조 방정식 → g(2)=1
f(2)=g(2)=1을 이용해 분자를 {f(x)−f(2)}−{g(x)−g(2)}로 쪼개면 각 항이 미분계수 정의 꼴이 된다. 따라서 극한 = f′(2)−g′(2)=2 → f′(2)=g′(2)+2. 분모가 (x−a)일 때 분자에 그 a에서의 함숫값을 끼워 넣으면 언제나 미분계수로 변신한다.
◀ 분자에 f(2),g(2)를 끼워 미분계수 정의로 변신
양변 미분하면 g′(x)=3x²f(x)+x³f′(x). x=2 대입: g′(2)=12f(2)+8f′(2)=12+8f′(2). 여기에 f′(2)=g′(2)+2를 넣으면 g′(2)=12+8(g′(2)+2)=28+8g′(2). 정리하면 −7g′(2)=28 → g′(2)=−4. 접선의 기울기를 확보했다.
◀ 곱의 미분+대입으로 g′(2)만의 방정식 → g′(2)=−4
점 (2,1), 기울기 −4인 접선 y−1=−4(x−2) → y=−4x+9. y=ax+b와 비교하면 a=−4, b=9. 따라서 a²+b²=16+81=97. 접선은 언제나 점 하나와 기울기 하나면 끝난다.
◀ a=−4, b=9 → a²+b²=97
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 미지 함수 f, g가 두 개 얽혀 있지만 실제로 필요한 값은 g(2)(점)와 g′(2)(기울기) 딱 두 개뿐이다. 접선은 점+기울기면 끝이기 때문이다. g(2)는 조건 (나)의 0/0 강제(f(2)=g(2))와 조건 (가) 대입으로, g′(2)는 미분계수 분해와 곱의 미분으로 잡는다.
실수 포인트 ① : 조건 (나)에서 분자가 0으로 간다는 사실을 놓치는 실수. 분모→0인데 극한이 존재하면 분자도 반드시 0이다.
실수 포인트 ② : [f−g]/(x−2)를 f′(2)만으로 착각하는 실수. 분자가 차이 꼴이므로 f′(2)−g′(2)로 각각 분해해야 한다.
실수 포인트 ③ : g′(2)=12+8f′(2)에서 f′(2)를 g′(2)+2로 치환하지 않고 멈추는 실수. 미지수 하나로 몰아 방정식을 풀어야 −4가 나온다.
정답 : ⑤ (a²+b²=97)