문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
xf′(x)−3f(x)에서 f가 n차이면 결과의 최고차항 계수는 (n−3)이다. f가 3차이면 xf′의 x³항(3x³)과 3f의 x³항(3x³)이 정확히 상쇄되어 최고차항이 0으로 사라진다. 그래서 우변(2차)이 f(3차)보다 차수가 낮아진다. 이 ‘차수 강등’이 곧 3차를 지목하는 신호다.
◀ xf′−nf에서 f가 n차이면 최고차항이 사라진다
x^k를 xf′−3f에 넣으면 k·x^k−3x^k=(k−3)x^k. 즉 x²는 (2−3)=−1배, x는 (1−3)=−2배가 된다. 우변 2x²−8x를 거꾸로 읽으면 −a·x²=2x²→a=−2, −2b·x=−8x→b=4, 상수는 −3c=0→c=0. 최고차 x³는 (3−3)=0이라 우변에 안 나타나므로 계수 1 그대로. 곧바로 f(x)=x³−2x²+4x.
◀ L[x^k]=(k−3)x^k, 이 구조가 이 문제의 급소다
f(x)=x³−2x²+4x가 완성되면 f(1)=1−2+4=3. 최고차항 계수가 1이라는 문제 조건과 x³항이 (3−3)=0으로 소거된다는 사실이 서로 모순되지 않는지만 확인하면 완결이다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 우변이 2차인데 f의 최고차항 계수는 1이다. xf′(x)−3f(x)에서 각 x^k가 (k−3)x^k로 바뀐다는 걸 알면, 계수 ‘3’이 x³항을 소거시켜 f가 3차임을 지목한다는 게 보인다. 일차·이차·삼차·사차 이상으로 케이스를 나눠 확인해도 되지만, 항별 대응을 쓰면 f(x)=x³−2x²+4x가 한 번에 나온다.
실수 포인트 ① : f를 2차로 놓는 실수. f가 2차이면 결과의 최고차가 (2−3)x²=−x²라 부호가 우변 +2x²와 맞지 않는다. 반드시 3차여야 x³가 소거되며 차수가 내려간다.
실수 포인트 ② : 계수 대응에서 부호 놓치기. x²는 −1배, x는 −2배라 배율이 음수다. −a=2에서 a=−2, −2b=−8에서 b=4. 부호를 반대로 쓰면 a=2, b=−4로 어긋난다.
실수 포인트 ③ : 상수항 c를 빠뜨리는 실수. 우변에 상수항이 없으므로 −3c=0→c=0. c를 임의로 남기면 f(1) 값이 틀어진다.
정답 : ③ (f(1)=3)