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조건 (가)의 f(x+2)−f(2)=x³+6x²+11x를 x로 나눠 x→0을 취하면 그대로 f'(2)의 정의다. (x³+6x²+11x)/x=x²+6x+11 → x→0에서 11. 즉 점 (2, f(2))에서 접선의 기울기는 계산도 끝나기 전에 11로 확정된다.
◀ '차이 ÷ 변화량'의 극한은 무조건 미분계수로 번역
기울기는 얻었지만 접점 (2, f(2))의 y좌표를 모른다. 조건 (가)에 x=2를 넣으면 f(4)−f(2)=8+24+22=54, 여기에 조건 (나) f(4)=10f(2)를 대입하면 9f(2)=54 → f(2)=6. 미지의 함숫값은 항상 '특정 x 대입'으로 사냥한다.
◀ 접점의 좌표는 조건식에 값을 꽂아 만든다
접선의 방정식은 y−f(a)=f'(a)(x−a) 하나의 공식이다. 기울기 11과 점 (2, 6)을 넣으면 y=11x−16. y=ax+b와 비교해 a=11, b=−16, 따라서 a−b=11−(−16)=27. 두 재료를 서로 다른 조건에서 조달해 마지막에 합친다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f(x+2)−f(2) 형태를 보는 순간 '이건 미분계수 정의구나'를 떠올려야 한다. 양변을 x로 나누고 x→0을 취하면 f'(2)=11이 바로 튀어나온다. 남은 재료는 접점의 y좌표 f(2)인데, 조건 (가)에 x=2를 대입해 얻은 관계식과 조건 (나)를 연립하면 f(2)=6. 기울기와 점, 두 재료가 모이면 접선은 자동으로 완성된다.
실수 포인트 ① : (x³+6x²+11x)/x에서 x를 약분하지 않고 x=0을 그대로 넣어 0/0으로 멈추는 실수. 반드시 x로 묶어 약분한 뒤 대입해야 11이 나온다.
실수 포인트 ② : f(2)를 구하지 않고 접선부터 세우려는 실수. 기울기만으로는 접선이 그려지지 않는다. 지나는 점의 y좌표 f(2)=6이 반드시 필요하다.
실수 포인트 ③ : a−b에서 b=−16의 부호를 놓쳐 11−16=−5로 답하는 실수. a−b=11−(−16)=27이다.
정답 : a−b=27