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g(x)는 삼차함수라 어디서나 연속. 그래서 (g∘f)(x)가 끊길 수 있는 곳은 f(x)가 불연속인 x=0, x=2 두 곳뿐이다. 실수 전체에서 연속이라는 조건은 이 두 점에서만 검사하면 끝난다. 후보를 f의 불연속점으로 좁히는 게 첫 단추다.
◀ 바깥함수가 다항식이면 안쪽 f의 끊긴 점만 본다
x=0에서 f(x)→1이므로 t=f(x)로 놓으면 lim g(f(x))=limt→1 g(t)=g(1). x=2에서는 좌극한 f→0+(t→0+)로 g(0), 우극한 f→−1+(t→−1+)로 g(−1)을 읽는다. 그래프에서 t가 향하는 값을 정확히 읽어 g에 대입하는 게 핵심.
◀ 안쪽 f의 극한값이 곧 바깥 g의 입력값이다
최고차항 계수 1, g(0)=3에서 g(x)=x³+ax²+bx+3으로 미정계수를 세운다. x=0 연속 → g(1)=g(0)=3 → a+b=−1. x=2 연속 → g(−1)=g(0)=3 → a−b=1. 두 방정식을 연립하면 a=0, b=−1.
◀ 이 문제의 출제 포인트
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : g는 삼차함수(=다항식)라 항상 연속이므로, (g∘f)의 연속 여부는 안쪽 f가 끊긴 x=0, x=2에서만 갈린다. 각 점에서 f(x)=t로 치환해 극한을 g(t)로 바꾸고, ‘좌극한=우극한=함숫값’이라는 연속의 정의를 a, b에 대한 방정식으로 옮기면 계수가 결정된다. 최고차 1·g(0)=3 조건으로 g(x)=x³+ax²+bx+3을 먼저 세워두는 게 시작이다.
실수 포인트 ① : x=2의 좌·우 극한에서 f가 향하는 값을 뒤집는 실수. 좌극한은 f→0+ (t→0+ → g(0)), 우극한은 f→−1+ (t→−1+ → g(−1))로 서로 다르다. 그래프의 화살표 방향을 반드시 확인하라.
실수 포인트 ② : 우변의 함숫값을 극한과 혼동하는 실수. 연속 등식의 오른쪽은 극한이 아니라 g(f(0))=g(0)=3, g(f(2))=g(0)=3처럼 실제 함숫값이다.
실수 포인트 ③ : g(1)=1+a+b+3을 정리할 때 상수 3을 빠뜨려 방정식을 틀리는 실수. a+b+4=3 → a+b=−1이 정확하다. g(−1)=a−b+2=3 → a−b=1과 연립해 a=0, b=−1.
정답 : ⑤ (g(x)=x³−x+3 이므로 g(3)=27−3+3=27)