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g(x)=(x−3)²+k−9는 x=3에서 최솟값 k−9. x가 3의 좌·우 어디로 가든 g(x)는 최솟값 k−9보다 큰 값으로 접근하므로 t=g(x)→(k−9)+. 양쪽이 같은 방향이라 좌·우를 나눌 필요 없이 우극한 하나만 따지면 된다.
◀ 꼭짓점을 지날 땐 t가 언제나 최솟값 위쪽에서만 접근
t=g(x)로 치환하면 limx→3 f(g(x))=limt→(k−9)+ f(t), f(g(3))=f(k−9). 불연속 조건은 limt→(k−9)+ f(t) ≠ f(k−9). 즉 f가 t=k−9에서 ‘우극한과 함숫값이 다른’ 점이어야 한다. 좌극한은 아예 볼 필요가 없다.
◀ 안쪽이 최솟값이면 우극한만 어긋나면 된다
f는 x=1, 2, 3에서 불연속. 우극한을 따지면 x=1은 우극한 3=f(1)=3(일치, 탈락), x=2는 우극한 2≠f(2)=1, x=3은 우극한 2≠f(3)=1(둘 다 어긋남). 따라서 k−9=2 또는 k−9=3 → k=11 또는 12.
◀ 이 문제의 출제 포인트
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 바깥 f는 x=1, 2, 3에서 불연속, 안쪽 g는 다항식이라 연속. (f∘g)가 x=3에서 불연속이려면 안쪽 g(x)가 도달하는 값 t=g(3)=k−9에서 f가 불연속이어야 한다. 핵심은 g가 x=3에서 최솟값을 가지므로 t→(k−9)+, 즉 우극한만 어긋나면 된다는 점. 그래서 f의 세 불연속점 중 ‘우극한≠함숫값’인 곳으로 k−9를 맞춘다.
실수 포인트 ① : g(x)→k−9를 양쪽 극한(좌+우)으로 착각해 t→k−9 전체를 따지는 실수. 꼭짓점(최솟값)이라 t는 위에서만 접근 → 우극한 t→(k−9)+ 하나뿐이다.
실수 포인트 ② : k−9=1(x=1)도 답에 넣는 실수. x=1은 우극한 limx→1+f=3이 f(1)=3과 같아 불연속을 만들지 못한다. 우극한이 다른 x=2, x=3만 유효하다.
실수 포인트 ③ : k−9=2, k−9=3에서 k를 옮길 때 9를 빠뜨려 k=2, 3으로 답하는 실수. k=11, k=12이고 모든 k의 값의 합은 11+12=23.
정답 : 23 (k=11 또는 k=12, 합은 23)