문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f, g 모두 조각의 경계 x=−1을 빼면 어디서나 연속. 연속함수의 곱은 연속이므로 f(x)g(x)가 실수 전체에서 연속이려면 x=−1 한 점에서만 연속이면 된다. 검사할 점을 경계 하나로 좁히는 게 시작이다.
◀ 곱의 불연속 후보 = 두 함수의 불연속점 합집합
좌극한(x<−1 조각): lim(−x+a)·lim(x+3)=(1+a)(2)=2a+2. 우극한·함숫값(x≥−1 조각): lim(2x+3)·lim(5x+a)=(1)(a−5)=a−5. lim fg = lim f · lim g로 분리해 각 방향에 맞는 조각을 대입하는 게 핵심.
◀ 좌극한은 아래쪽 조각, 함숫값은 등호(≥) 붙은 조각
x=−1에서 연속 ⟺ 좌극한=우극한. 2a+2 = a−5를 a에 대해 풀면 a=−7. 우극한과 함숫값은 같은 x≥−1 조각을 써서 자동으로 일치하므로, 결국 좌극한=함숫값 한 방정식만 세우면 끝난다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f와 g는 각각 x=−1에서만 조각이 바뀌므로 곱 f(x)g(x)도 x=−1을 제외하면 연속이다. 따라서 ‘실수 전체에서 연속’은 x=−1에서의 연속 하나로 환원된다. 곱의 극한을 극한의 곱으로 분리하고, 좌극한(아래 조각)과 우극한·함숫값(위 조각)을 각각 계산해 같게 두면 a가 나온다.
실수 포인트 ① : 경계에서 어느 조각을 쓸지 헷갈리는 실수. 좌극한 x→−1−은 x<−1 조각(−x+a, x+3), 우극한과 함숫값 f(−1)g(−1)은 등호가 붙은 x≥−1 조각(2x+3, 5x+a)이다.
실수 포인트 ② : f나 g 하나만 연속이면 된다고 생각해 한 함수만 맞추려는 실수. 연속 조건은 곱 전체의 좌극한=우극한이다. 각각은 x=−1에서 불연속이어도 곱은 연속일 수 있다.
실수 포인트 ③ : 좌극한 2·(1+a)를 분배하다 2a+2가 아닌 2a+1 등으로 틀리는 실수. 2(1+a)=2a+2이고, 이것이 a−5와 같아 a=−7.
정답 : ① (a=−7)