문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
구하는 건 f(x)/(x−1)의 극한. 주어진 x²+x−2 ≤ f(x) ≤ x³−1의 세 변을 통째로 x−1로 나누면 가운데가 정확히 목표꼴 f(x)/(x−1)이 된다. 압착정리(샌드위치)를 쓰려면 먼저 양끝을 내가 원하는 모양으로 가공하는 게 첫 수다.
◀ 낀 극한은 양끝을 목표꼴로 맞추는 나눗셈부터
x−1은 x>1이면 양수, x<1이면 음수. 음수로 나누면 부등호가 뒤집힌다. 그래서 우극한(x→1+)과 좌극한(x→1−)을 반드시 따로 처리해야 한다. x>1: x+2 ≤ f(x)/(x−1) ≤ x²+x+1, x<1: 방향이 반대. 부호 체크를 건너뛰면 통째로 틀린다.
◀ 나누는 수의 부호가 음수면 부등호가 뒤집힌다
x²+x−2=(x−1)(x+2), x³−1=(x−1)(x²+x+1). x−1로 약분하면 양끝이 각각 x+2, x²+x+1이고 x→1에서 둘 다 3으로 수렴한다. 압착정리로 가운데도 3. 좌·우극한이 모두 3 → lim=3.
◀ 압착정리: 위·아래 극한이 같으면 낀 값도 그 값이다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 목표가 f(x)/(x−1)의 극한이므로 부등식 세 변을 x−1로 나눠 가운데를 목표꼴로 만든다. 핵심은 x−1의 부호가 x>1과 x<1에서 달라 부등호 방향이 갈린다는 점 — 좌·우극한을 분리해 각각 압착정리를 적용한다. 양끝 x²+x−2, x³−1은 모두 x−1을 인수로 가져 약분되고, 남은 식이 x→1에서 둘 다 3으로 모여 낀 극한도 3이 된다.
실수 포인트 ① : x−1의 부호를 따지지 않고 그냥 나눠 부등호를 그대로 두는 실수. x<1에서는 음수로 나누므로 부등호가 반드시 뒤집힌다.
실수 포인트 ② : 좌극한만(또는 우극한만) 구하고 끝내는 실수. 양쪽이 같음을 확인해야 limx→1이 존재한다고 말할 수 있다.
실수 포인트 ③ : x³−1을 잘못 인수분해하는 실수. x³−1=(x−1)(x²+x+1)이 정확한 인수분해다.
정답 : 3