문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
limx→∞ f(x)/(x³+5)=2는 유한이면서 0이 아니다. 이는 f(x)가 분모와 같은 3차이고 최고차계수가 2×1=2라는 뜻. ∞극한이 0 아닌 상수로 수렴하면 분자·분모 차수가 같고, 그 상수는 최고차계수의 비다.
◀ ∞극한 상수값 = 최고차계수 비율, 차수 즉시 확정
limx→−1 f(x)/(x+1)=6에서 분모→0인데 값이 유한 → 분자 f(−1)=0 → (x+1)이 인수. 같은 논리로 f(2)=0 → (x−2)가 인수. 두 인수를 확보하면 f(x)=2(x+1)(x−2)(x−a)로 미정계수를 a 하나로 줄인다.
◀ 0으로 가는 분모 + 존재하는 극한 = 분자도 0
(x+1)을 약분한 뒤 limx→−1 2(x−2)(x−a)=6에 x=−1을 대입하면 6+6a=6 → a=0. 그래서 f(x)=2x(x+1)(x−2). 마지막 p도 (x−2) 약분 후 lim 2x(x+1)=2·2·3=12. 0/0은 ‘약분하라’는 신호, 약분 뒤엔 곧장 대입.
◀ 0/0 → 인수 약분 → 대입, 이 3연타가 전부
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 세 개의 극한 조건이 각자 역할을 나눠 갖는다. ∞극한은 차수와 최고차계수(3차·계수2)를, 유한값을 갖는 0/0 극한 두 개는 인수 (x+1)·(x−2)를 지목한다. f(x)=2(x+1)(x−2)(x−a)로 세우고 남은 a를 극한값 방정식으로 확정하면 된다.
실수 포인트 ① : 최고차계수를 1로 두는 실수. ∞극한값이 2이므로 계수는 2다. f(x)=x³+…이 아니라 2x³+…로 출발해야 한다.
실수 포인트 ② : a를 안 구하고 p 계산으로 건너뛰는 실수. 두 번째 극한값 6으로 a=0을 먼저 확정해야 f(x)=2x(x+1)(x−2)가 완성된다.
실수 포인트 ③ : 부호 실수. 2(−1−2)(−1−a)=6+6a 전개에서 부호를 놓치면 a가 틀어진다. 6a=0 → a=0을 깔끔히 확인하라.
정답 : ③ (p=12)