문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
최고차계수 1인 이차함수인데 f(1)=0이니 f(x)=(x−1)(x−a)로 놓아 미정계수를 a 하나로 줄인다. 근을 하나 알면 그 (x−근)을 먼저 꺼내고 나머지 근만 문자로 두는 게 미정계수 최소화의 기본기다.
◀ 아는 근은 즉시 (x−근) 인수로 꺼내라
{f(x)}²=(x−1)²(x−a)²라 분모에 (x−1)²이 박혀 있다. 극한이 0이 되려면 분자 f(x+3)g(x)가 (x−1)²을 약분하고도 (x−1)을 더 남겨 총 (x−1)³ 이상을 가져야 한다. →0은 ‘분자 인수가 분모를 이긴다’는 신호다.
◀ →0은 분자 인수과잉, →∞는 분모 인수과잉, →상수는 균형
a=1이면 f(x)=(x−1)²이 되어 분모가 (x−1)⁴로 튄다. 사차식 분자가 (x−1)⁵을 가질 수 없어 0이 불가능 → 모순. a≠1일 때만 (x+3−a)g(x)=(x−1)³이 성립해 a=4, g(x)=(x−1)². 미정계수가 겹치는 케이스는 늘 별도 검사.
◀ 미정계수가 겹치는 순간(a=1) 경우를 쪼개라
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f(1)=0은 인수분해 신호, 극한=0은 인수 개수 싸움 신호다. 분모 {f(x)}²=(x−1)²(x−a)²의 (x−1) 지수가 관건이라, 분자 f(x+3)g(x)가 (x−1)을 몇 개 품는지를 세면 끝난다. f(x)=(x−1)(x−a)로 두고 a에 따라 경우를 나누는 게 뼈대다.
실수 포인트 ① : a=1(중근) 경우를 빼먹는 실수. a=1이면 분모가 (x−1)⁴로 커져 극한 0이 불가능한데, 이걸 안 따지면 반쪽짜리 풀이가 된다. 중근 케이스는 항상 따로 검사하라.
실수 포인트 ② : (x+3−a)g(x)=(x−1)³에서 차수를 안 맞추는 실수. 좌변 3차 = 우변 3차, g는 2차·(x+3−a)는 1차이므로 (x+3−a)=(x−1), g(x)=(x−1)²로 갈라야 a=4가 나온다.
실수 포인트 ③ : 마지막 대입 산수 실수. f(x)=(x−1)(x−4), g(x)=(x−1)²이므로 f(5)=4×1=4, g(5)=4²=16 → f(5)+g(5)=20.
정답 : ④ (f(5)+g(5)=20)