문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g(x)=x²−x는 다항함수라 연속 → 극한값은 g(−1)=2로 그냥 대입. 문제는 t가 2로 갈 때 좌·우 어디냐. x=−1 근처에서 g는 감소(기울기 2x−1, x=−1에서 −3)라, x가 −1보다 작은 쪽에서 오면 g값은 2보다 크다 → t→2⁺. 이어 f(2⁺)=0.
◀ 연속이라도 밖 함수 f가 불연속이면 접근방향(±)이 결과를 가른다
limx→1+ g(f(x))에서 f(x)=s. x→1⁺면 f는 직선 x−2를 타고 −1로 오는데 x>1이라 −1보다 큰 값 → s→−1⁺. 이 부호를 밖 g로 넘기되, g는 연속이라 g(−1⁺)=g(−1)=2로 마무리.
◀ 안쪽이 불연속(f)이면 부호 배달, 밖이 연속(g)이면 대입
x²−x의 꼭짓점은 x=1/2. x=−1은 꼭짓점 왼쪽(감소구간)이라 x→−1⁻이면 g는 위쪽(2⁺)에서 접근. 헷갈리면 x=−1.01을 넣어 g가 2보다 큰지 직접 확인하라. g(−1)=(−1)²−(−1)=1+1=2.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 극한 모두 안쪽 함수를 치환하는 합성극한이다. 핵심은 안쪽이 이차함수(연속)인지 그래프함수(불연속)인지 구분하는 것. 연속이면 극한값은 대입, 방향은 증감으로 정하고, 그 방향을 불연속인 f에 넘겨 좌/우극한을 읽는다.
실수 포인트 ① : g(−1)=2를 구하고 f(2)를 그냥 대입하는 실수. t→2⁺이므로 f(2⁺)를 읽어야 하고 f(x)=x−2에서 f(2⁺)=0이다. (마침 연속이라 문제없지만 방향 확인은 필수 습관)
실수 포인트 ② : x²−x에 x=−1을 넣을 때 (−1)²−(−1)=1+1=2인데 1−1=0으로 계산하는 부호 실수. 제곱과 −x의 부호를 조심하라.
실수 포인트 ③ : x→1⁺에서 f(1⁺)를 왼쪽 조각(값 1)으로 읽는 실수. x>1이므로 오른쪽 조각 f(x)=x−2를 타 −1⁺로 가야 한다. f의 조각 경계를 정확히 구분하라.
정답 : ④ (0+2=2)