문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
최고차항 계수 1인 삼차함수인데 f(1)=f(2)=0이면 f(x)=(x−1)(x−2)(x−k) 꼴이 강제된다. 남은 미지수는 k 하나뿐. ‘근을 안다=인수를 안다’로 번역하면 함수식이 절반은 완성된 채로 출발한다.
◀ 근이 주어지면 곧바로 인수분해 꼴로 세팅한다
f′(x)=(x−2)(x−k)+(x−1)(x−k)+(x−1)(x−2). 여기 x=0을 넣으면 (−2)(−k)+(−1)(−k)+(−1)(−2)=2k+k+2=3k+2. 이게 −7이니 k=−3, f(x)=(x−1)(x−2)(x+3). 곱의 미분은 한 인수씩만 미분하고 나머지는 그대로 두는 구조라, 특정 x값 대입이 간단한 산수로 바뀐다.
◀ 세 인수 곱은 전개 말고 곱의 미분으로 도함수화
A=∫₀^α{f(x)−4x}dx, B=∫_α^3{4x−f(x)}dx. B−A를 만들면 −A=+∫₀^α{4x−f(x)}로 뒤집혀 두 적분의 피적분함수가 모두 {4x−f(x)}로 같아지고, 구간이 [0,α]와 [α,3]으로 이어져 B−A=∫₀³{4x−f(x)}dx 한 방에 정리된다. 교점 α는 구할 필요조차 없다. f(x)=x³−7x+6을 넣어 적분하면 45/4.
◀ 이 문제의 출제 포인트 — α를 소거하는 정적분 합치기
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건 세 개로 함수식부터 확정한다. f(1)=f(2)=0으로 (x−1)(x−2)(x−k)를 세우고, f′(0)=−7을 곱의 미분으로 계산해 k=−3을 얻는다. 넓이에서는 A와 B의 피적분함수 부호가 반대라, B−A로 묶으면 교점 α가 경계에서 사라지고 ∫₀³{4x−f(x)}dx 하나로 합쳐진다. 여기에 f(x)=x³−7x+6을 대입해 적분하면 45/4.
실수 포인트 ① : f′(x)를 전개해서 미분하려다 계산이 폭발하는 실수. (x−1)(x−2)(x−k)는 전개하지 말고 곱의 미분 공식으로 f′(0)만 뽑아야 한다.
실수 포인트 ② : B−A에서 부호를 잘못 정리해 A와 B의 피적분함수가 안 합쳐지는 실수. −A=+∫{4x−f(x)}로 뒤집어야 B와 같은 함수가 되어 ∫₀³으로 이어진다.
실수 포인트 ③ : 굳이 α(=Q의 x좌표)를 구하려고 삼차방정식을 푸는 실수. 합쳐진 적분에서 α는 이미 사라졌으니 건드리지 마라.
정답 : ⑤ (B−A=45/4)