문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
직선 AB가 좌표축과 만드는 삼각형 OAB의 넓이는 ½·4·4=8. S₁과 S₂를 합치면 정확히 이 삼각형이 되므로 S₁+S₂=8이라는 방정식이 공짜로 생긴다. 여기에 넓이비 S₁:S₂=5:11을 연립하면 S₁=8×5/16=5/2. 정적분을 세우기 전에 전체넓이부터 챙기는 게 이 유형의 첫 수다.
◀ 넓이비 + 전체넓이 → 각 넓이를 먼저 확정한다
직선과 포물선의 교점 x좌표를 숫자로 구하려 애쓰지 말고 k(0<k<4)로 두면 −k+4=ak² …㉠ 라는 관계식 하나만 남는다. 이 상태로 S₁=∫₀ᵏ{(−x+4)−ax²}dx를 적분하면 −⅓ak³−½k²+4k. 교점은 미지수 채로 남겨두고 적분식을 밀고 나가는 게 핵심이다.
◀ 교점은 숫자가 아니라 관계식 ㉠으로 남겨둔다
S₁ 식의 골칫거리 항 −⅓ak³을, ㉠의 ak²=−k+4를 이용해 ak³=k·ak²=k(−k+4)로 바꾸면 a가 통째로 사라지고 −⅙k²+8/3k라는 k만의 식이 된다. 이걸 5/2와 같게 두면 k²−16k+15=0, k=1. 마지막에 ㉠에 넣어 a=3. 곱해진 최고차항을 관계식으로 낮추는 차수내림이 이 유형의 필살기다.
◀ 이 문제의 출제 포인트 — 차수내림 치환
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 넓이 S₁, S₂를 각각 적분으로 구하려 들면 계산이 배로 늘어난다. 대신 직선 AB가 좌표축과 만드는 삼각형 OAB(넓이 8)가 S₁+S₂와 같다는 걸 알아채면, 넓이비 5:11만으로 S₁=5/2가 바로 나온다. 남은 건 S₁을 a, k로 표현한 정적분식뿐이고, 교점조건 ㉠으로 차수를 내리면 k, a가 순서대로 풀린다.
실수 포인트 ① : S₂까지 따로 적분하려다 시간을 버리는 실수. S₂=삼각형−S₁이므로 삼각형 넓이 8만 있으면 충분하다.
실수 포인트 ② : ak³을 그냥 둔 채 a와 k 두 미지수를 동시에 풀려다 막히는 실수. ㉠로 ak²=−k+4를 대입해 ak³=k(−k+4)로 차수를 내려야 식이 k만의 이차식으로 정리된다.
실수 포인트 ③ : k²−16k+15=0에서 k=15까지 답으로 쓰는 실수. 교점은 0<k<4 안에 있어야 하므로 k=1만 유효하다.
정답 : ③ (a=3)