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−f(x−1)−1은 f를 x축 대칭(− 곱)하고 x로 1, y로 −1 평행이동한 곡선이다. f(x)=x²−2x에 x−1을 대입한 뒤 전체에 −를 곱하고 −1을 더하면 −(x²−4x+3)−1 = −x²+4x−4. 변환식은 겁먹지 말고 대입 후 정리 순서로 풀어써라.
◀ 변환식은 대입 → 부호 → 상수 순으로 펼친다
교점: x²−2x = −x²+4x−4 → 2x²−6x+4=0 → x²−3x+2=0 → x=1, 2. 구간 [1,2]에서 −x²+4x−4가 위, x²−2x가 아래. S=∫₁²{(위)−(아래)}dx. 두 곡선 사이 넓이는 언제나 ‘교점 사이에서 위−아래’다.
◀ 적분 순서를 (위−아래)로 고정하면 부호 실수가 없다
(위)−(아래) = (−x²+4x−4)−(x²−2x)의 최고차 계수차는 |−1−1|=2. 교점은 1, 2. 넓이 = |a−a′|/6·(β−α)³ = 2/6·(2−1)³ = 1/3. 이차−이차도 계수의 ‘차’만 뽑으면 ⅙공식이 그대로 먹힌다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 핵심은 −f(x−1)−1이라는 변환식을 정확히 펼치는 것. x축 대칭+평행이동을 대입으로 처리해 −x²+4x−4를 얻으면, 나머지는 교점을 구하고 (위−아래)로 적분하는 표준 넓이 문제다. 두 곡선이 모두 이차이므로 ⅙공식 |a−a′|/6·(β−α)³로 적분 없이 마무리할 수도 있다.
실수 포인트 ① : −f(x−1)−1에서 −1을 f 안쪽에 넣거나 부호를 절반만 적용하는 실수. f 전체에 −를 곱한 뒤, 그 결과에 −1을 더한다.
실수 포인트 ② : 어느 곡선이 위인지 안 따지고 순서를 바꿔 적분해 부호가 뒤집히는 실수. 구간 [1,2]에서는 −x²+4x−4가 위다.
실수 포인트 ③ : ⅙공식에서 |a|만 쓰고 |a−a′|를 안 쓰는 실수. 두 곡선 사이는 최고차 계수의 ‘차’ |−1−1|=2를 쓴다. 2/6·(2−1)³ = 1/3.
정답 : ③ (1/3)