문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
B=∫₀^β{(x+k)−x²}dx, C=∫_β^3{x²−(x+k)}dx. −C=+∫_β^3{(x+k)−x²}이므로 B−C=∫₀³{(x+k)−x²}dx로 합쳐진다. 교점 β를 구하지 않고도 k에 대한 식이 나온다. 1402의 넓이 차와 완전히 같은 ‘정적분 합치기’ 스킬이다.
◀ 넓이 차는 부호정렬 → 경계(β) 소거가 정석
∫₀³(−x²+x+k)dx=[−⅓x³+½x²+kx]₀³=−9+9/2+3k=−9/2+3k. 이게 B−C=3/2와 같으니 3k=6, k=2. 적분 안의 상수 k는 kx로 살아남아 답을 결정한다. 넓이 조건 한 줄이 곧 k의 일차방정식으로 번역된다.
◀ 넓이조건 = 상수 k에 대한 방정식
k=2 대입 시 x²−x−2=0, (x−2)(x+1)=0 → x=−1, 2. 문제의 ‘P의 x좌표<Q의 x좌표’ 조건 때문에 P는 x=−1, Q는 x=2. A는 곡선 y=x²과 y축, 선분 PR로 둘러싸인 부분이라 A=∫_{−1}^0{(x+2)−x²}dx=7/6. 따라서 k×A=2×7/6=7/3.
◀ 이 문제의 출제 포인트 — 근의 대소로 P·Q 배정
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 서로 다른 구간의 두 넓이 B, C가 부호만 반대인 같은 피적분함수 {(x+k)−x²}를 갖는다. B−C로 묶으면 경계 β가 사라지고 ∫₀³{(x+k)−x²}dx로 합쳐져 그 값이 3k−9/2. 넓이조건 B−C=3/2를 대입하면 k=2가 나온다. 그다음 k=2로 교점을 실제로 구해 P(x=−1)를 정하고 A=∫_{−1}^0{(x+2)−x²}dx=7/6을 계산해 k×A=7/3.
실수 포인트 ① : B와 C를 각각 β까지 따로 구하려고 β=(1+√(1+4k))/2 같은 무리식을 붙들고 있는 실수. B−C로 먼저 합치면 β 없이 k가 나온다.
실수 포인트 ② : k를 구한 뒤 P와 Q를 반대로 잡는 실수. ‘P의 x좌표<Q의 x좌표’ 조건 때문에 P=−1, Q=2로 못박아야 A의 적분구간 [−1,0]이 맞다.
실수 포인트 ③ : A를 삼각형+곡선으로 쪼개 넓이를 직접 더하다 부호가 꼬이는 실수. A=∫_{−1}^0{윗식(x+2)−아랫식 x²}dx 한 줄로 처리하는 게 안전하다.
정답 : ② (k×A=7/3)