문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
조건 두 개를 각각 번역하라. (가)는 ‘2칸마다 반복’, (나)는 ‘직선 x=3을 접는 거울’. 이 둘이 만나면 그래프가 폭 1짜리 봉우리들의 반복이 된다. 조건을 그림 언어(주기·대칭축)로 옮기는 게 첫걸음이다.
◀ f(a+x)=f(a−x) = 직선 x=a 대칭
주기 2로 ∫01=∫23. 대칭 x=3으로 [2,3]을 접으면 ∫23=∫34. 이런 식으로 이으면 ∫01=∫12=∫23=…=2(조건 (다))로 폭 1짜리 정적분이 모두 통일된다. 두 대칭이 잘게 쪼갠 칸을 서로 같게 묶어준다.
◀ 반복+거울 → 최소 단위 조각값이 하나로 고정
∫−16는 폭이 6−(−1)=7, 즉 폭 1짜리 조각이 7개다. 조각 하나가 모두 2이므로 ∫−16 f=7×2=14. 대칭·주기 문제는 결국 ‘똑같은 조각 몇 개인가’만 세면 끝난다.
◀ 구간폭을 세어 조각 개수로 환산
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (가) 주기 2와 (나) x=3 대칭을 함께 쓰면 폭 1짜리 조각의 정적분이 모두 같아진다. 주기로 ∫01=∫23, 대칭으로 ∫23=∫34처럼 이어붙이면 모든 단위칸 정적분이 (다)의 값 2로 통일된다. ∫−16은 폭 7이라 조각 7개, 따라서 7×2=14.
실수 포인트 ① : 주기만 쓰고 대칭 조건을 흘려보내 조각들을 같게 묶지 못하는 실수. 두 조건을 함께 써야 모든 폭 1 조각이 2로 통일된다.
실수 포인트 ② : f(3+x)=f(3−x)를 점대칭(원점 대칭)으로 오해하는 실수. 이건 직선 x=3에 대한 ‘선대칭’이다.
실수 포인트 ③ : 구간 폭을 잘못 세는 실수. −1에서 6까지는 폭 7이라 7×2=14이지 6×2=12가 아니다. 그래서 답은 12(①)가 아닌 14(②)다.
정답 : ② (14)