문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
양변을 x로 미분하면 f′(x+4)=f′(x). 즉 도함수는 순수 주기 4짜리다. 그래서 이음매 x=4에서 f′(4)=f′(0)이 공짜로 성립한다. f는 준주기라도 f′은 완전한 주기함수라는 게 이 문제의 숨은 무기다.
◀ ‘+16’은 미분하면 0, 그래서 f′은 주기함수
0≤x<4 정의를 x=4 너머로 이으려면 두 조건이 필요하다. 연속 f(4)=f(0)+16 → 64+16a+4b=16. 미분 f′(4)=f′(0) → 48+8a+b=b, 즉 a=−6. 이걸 연속식에 넣어 b=12. 두 조건이 곧 두 방정식이다.
◀ 미분가능 한 점 = 연속식 1개 + 미분계수식 1개
f(x+4)=f(x)+16이므로 ∫47 f(x)dx=∫03 f(x+4)dx=∫03[f(x)+16]dx=∫03 f dx+16×3. f(x)=x³−6x²+12x이라 ∫03=81/4, 여기에 48을 더해 273/4. 구간을 기준칸으로 당기고 상수만 따로 더하는 게 정석이다.
◀ 구간 당기기 + 상수×폭 더하기
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘실수 전체에서 미분가능’은 이음매 x=4에서 연속과 미분계수가 모두 이어진다는 뜻이다. 특히 준주기식 f(x+4)=f(x)+16을 미분하면 상수 16이 죽고 f′(x+4)=f′(x)가 되어 f′(4)=f′(0)이 바로 나온다. 이 두 조건으로 a=−6, b=12를 얻고, ∫47은 한 주기 당겨 ∫03[f+16]으로 바꾸면 81/4+48=273/4.
실수 포인트 ① : 이음매에서 연속만 체크하고 미분계수 일치를 빠뜨리는 실수. 미분가능은 연속보다 강한 조건이라 식이 하나 더 필요하다.
실수 포인트 ② : f′을 구할 때 준주기식 미분에서 상수 16을 그대로 남겨두는 실수. 상수는 미분하면 0이라 f′(x+4)=f′(x)가 된다.
실수 포인트 ③ : ∫47을 ∫03로 당길 때 +16×3=48 더하기를 잊는 실수. 구간 이동으로 생기는 상수 넓이를 반드시 챙겨야 한다.
정답 : ⑤ (273/4)