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조건 (가) f(−x)=f(x)는 f가 우함수라는 선언. 여기에 x를 곱한 xf(x)는 (기함수)×(우함수)=기함수라 원점 대칭 → ∫−11xf(x)dx=0. 대칭구간에서 기함수 정적분은 무조건 0, 이게 첫 관문이다.
◀ (홀차수 x)×(우함수)=기함수 → 대칭구간에서 0
조건 (다) ∫−11(x+4)f dx = ∫xf dx + 4∫f dx = 0 + 4∫−11f dx = 16. ∴ ∫−11f dx = 4. 대칭구간 정적분은 ‘기함수 항 버리고 우함수 항만 계산’이 핵심 스킬이다.
◀ 대칭구간 정적분은 ‘기함수 버리고 우함수만’
조건 (나) f(x+2)=f(x)는 주기 2. 그러면 ∫−11f = ∫02f = 4. 구간 [−8, 12]는 길이 20 = 주기 2짜리 10칸. 따라서 ∫−812f = 10∫02f = 10×4 = 40. 주기함수는 ‘한 칸 넓이 × 칸수’로 계산하라.
◀ 주기함수 정적분 = 한 주기 넓이 × 반복 횟수
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 세 조건이 각각 다른 도구를 지목한다. (가) 우함수 → xf(x)는 기함수라 대칭구간 적분이 0이 되고, 이를 이용해 (다)를 쪼개면 ∫−11f=4가 나온다. (나) 주기 2 → 길이 2짜리 정적분은 모두 같으므로 ∫−11f=∫02f=4. 구하는 구간 [−8, 12]는 주기 10칸이라 10×4=40. ‘대칭으로 항 소거 → 주기로 넓이 복제’ 2단 구조다.
실수 포인트 ① : (다)를 통째로 적분하려는 실수. (x+4)f를 xf와 4f로 분리해 기함수 xf를 0으로 버리는 게 핵심이다.
실수 포인트 ② : 4∫−11f=16에서 양변을 4로 나누는 걸 잊는 실수. ∫−11f=4가 맞다.
실수 포인트 ③ : 구간 [−8, 12]의 길이를 잘못 세거나 주기 칸수를 9·11칸으로 오산하는 실수. 길이 20÷주기 2=10칸이므로 10×4=40이다.
정답 : 40