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그래프가 y축에 대하여 대칭이므로 f는 우함수. 따라서 ∫₋ₐᵃf(x)dx = 2∫₀ᵃf(x)dx = 13이 되어 오른쪽 절반만 보면 되고 ∫₀ᵃf(x)dx = 13/2. 대칭 구간의 정적분은 항상 ‘반으로 접어 2배’로 먼저 줄여라.
◀ 대칭 구간 정적분은 절반 계산 후 2배가 정석
한 주기 [0,3]의 그래프는 윗변 1, 아랫변 3, 높이 1인 사다리꼴. x·1·(−x+3)을 구간별로 따로 적분하지 말고 ½×(윗변+아랫변)×높이 = ½×(1+3)×1 = 2로 넓이를 통째로 구하라. 계산이 세 배 빨라진다.
◀ 넓이로 보이면 적분 대신 도형 공식
∫₀ᵃf = 13/2. 한 주기 넓이 2씩 쌓으면 ∫₀⁹f = 3×2 = 6. 남은 자투리 ∫₉ᵃf = 13/2 − 6 = 1/2. 주기성으로 ∫₉¹⁰f = ∫₀¹f = ∫₀¹x dx = 1/2이므로 a=10. 목표 넓이를 ‘온전한 주기 몇 개 + 나머지 조각’으로 분해하는 게 핵심.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 무기는 두 개, y축 대칭(우함수)과 주기 3이다. 대칭으로 ∫₋ₐᵃf=13을 ∫₀ᵃf=13/2로 반토막 내고, 한 주기 넓이 2로 나눠 ∫₀⁹f=6까지 채운 뒤 남은 1/2을 첫 주기 조각 ∫₀¹x dx=1/2로 맞추면 a=10이 떨어진다.
실수 포인트 ① : ∫₋ₐᵃ에서 대칭을 안 쓰고 좌·우 구간을 각각 적분하려다 시간을 버리는 실수. 우함수면 2∫₀ᵃ로 즉시 절반으로 줄여라.
실수 포인트 ② : 한 주기 넓이를 x, 1, −x+3 세 조각으로 힘들게 적분하는 실수. 사다리꼴이니 ½(1+3)×1=2 도형 공식이 훨씬 빠르고 실수도 적다.
실수 포인트 ③ : 자투리 ∫₉¹⁰f를 새로 적분하려는 실수. 주기 3이므로 ∫₉¹⁰f = ∫₀¹f = ∫₀¹x dx = 1/2로 첫 주기로 끌어와라. 그래서 a=10.
정답 : ① (a=10)