문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
{f(x)+x²−1}² ≥ 0이고 f(x)≥0. 이 제곱 정적분을 최소로 하려면 가능한 구간은 괄호 f(x)+x²−1=0으로, 0이 될 수 없는 구간은 최소 양수가 되게 만든다. ‘제곱의 최소 = 속을 0에 최대한 가깝게’가 이 유형의 뼈대다.
◀ (…)² 최소화는 ‘속을 0으로 만드는’ 문제로 번역
[−1,1]에서는 x²−1 ≤ 0이라 f(x)=1−x²(≥0)로 두면 괄호가 0. (1,2]에서는 x²−1 > 0이고 f≥0라 괄호가 절대 0이 못 되니 f(x)=0으로 최소화. 즉 f(x)=−x²+1 (−1≤x≤1), f(x)=0 (1
◀ 제약 f≥0가 ‘0을 못 만드는 구간’을 가른다
f는 주기 3이고 구간 [−1,26]의 길이는 27 = 3×9이므로 같은 모양이 9번 반복된다. ∫₋₁²⁶f = 9∫₋₁²f = 9∫₋₁¹(−x²+1)dx = 9×4/3 = 12. (1,2]에서는 f=0이라 실제로는 [−1,1]만 적분하면 된다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 단계 문제다. ① 제곱 정적분을 최소화해 f의 정체를 밝히고 ② 주기성으로 긴 구간을 한 주기로 압축한다. {f(x)+x²−1}²≥0과 f(x)≥0라는 제약이 x²−1의 부호에 따라 f를 −x²+1 또는 0으로 확정해 준다.
실수 포인트 ① : f≥0 제약을 잊고 (1,2]에서도 f=1−x²(음수)로 두는 실수. 그 구간의 f는 음수가 될 수 없으므로 최소는 f=0이다.
실수 포인트 ② : 구간 개수를 잘못 세어 주기를 8개나 10개로 착각하는 실수. −1부터 26까지 길이는 27, 27÷3=9개가 정확하다.
실수 포인트 ③ : [−1,2] 전체를 적분하려다 (1,2]의 f=0을 빠뜨리는 실수. 실제 넓이는 [−1,1]의 ∫₋₁¹(−x²+1)dx = 4/3뿐이고, 9배 하면 12다.
정답 : 12