문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f는 기함수(f(−x)=−f(x)), g는 우함수(g(−x)=g(x)). 곱 h=fg는 h(−x)=(−f)(g)=−h(x) → 기함수다. 기함수는 원점을 반드시 지나므로 h(0)=0이 공짜로 나온다. ‘대칭 판정 → 원점 통과 → h(0)=0’을 한 세트로 외워라.
◀ 기함수 = 원점 대칭 = h(0)=0
기함수 h를 미분하면 차수가 홀수→짝수로 바뀌어 우함수가 된다. 즉 h′(−x)=h′(x). 그러면 x·h′(x)는 (기함수)×(우함수)=기함수 → ∫−33xh′(x)dx=0으로 통째로 소거된다. 대칭성을 알면 항 하나가 그냥 0으로 사라진다.
◀ 대칭성으로 xh′ 항을 0으로 지운다
∫−33(x+5)h′dx = ∫xh′dx + ∫5h′dx = 0 + 5·2∫03h′dx = 10[h(x)]03 = 10{h(3)−h(0)}. 우함수 5h′는 ∫−33=2∫03로 접힌다. =10에서 h(3)=h(0)+1=1.
◀ 쪼개서 기함수는 0, 우함수는 2배로
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f는 기함수, g는 우함수라는 대칭 조건이 문제의 전부다. 곱 h=fg는 기함수 → h(0)=0, 미분하면 h′는 우함수. 적분식 (x+5)h′를 xh′(기함수)와 5h′(우함수)로 쪼개면 앞항은 대칭구간에서 0으로 사라지고 뒤항만 2∫03로 접혀 10{h(3)−h(0)}이 된다. ‘대칭성 → 항 소거 → 미적분학 기본정리’ 순서다.
실수 포인트 ① : h가 기함수인지 우함수인지 헷갈리는 실수. (기함수)×(우함수)=기함수, 부호 −가 붙는 쪽이 기함수다. 따라서 h(0)=0.
실수 포인트 ② : h′의 대칭성을 반대로 잡는 실수. 기함수를 미분하면 우함수가 된다. 그래야 xh′가 기함수가 되어 적분이 0이 된다.
실수 포인트 ③ : 우함수 5h′를 ∫−33=2∫03로 접는 걸 잊는 실수. 최종식 10{h(3)−h(0)}=10, h(0)=0이므로 h(3)=1.
정답 : ① (h(3)=1)