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∫−11f = ∫01f 이면 두 적분의 차인 ∫−10f = 0. 또 ∫−11f = ∫−10f 이면 ∫01f = 0. '같다'는 세 조건이 사실은 구간적분=0 두 개다.
◀ '정적분이 같다'는 '차=0'으로 번역한다
이차함수를 f(x)=ax2+bx+c로 놓으면 f(0)=c. 주어진 f(0)=−1에서 곧바로 c=−1. 미지수 3개 중 하나가 즉사하고 f(x)=ax2+bx−1만 남는다.
◀ f(0) 값은 언제나 상수항 c를 지목한다
∫−10(ax2+bx−1)dx = a/3 − b/2 − 1 = 0 … ㉠, ∫01(ax2+bx−1)dx = a/3 + b/2 − 1 = 0 … ㉡. ㉠, ㉡을 연립하면 a=3, b=0. 즉 f(x)=3x2−1이고 f(2)=12−1=11.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 세 정적분이 서로 같다는 조건을 '구간적분=0' 두 개로 번역하는 게 핵심이다. ∫−11=∫01 ⇒ ∫−10=0, ∫−11=∫−10 ⇒ ∫01=0. 여기에 f(0)=−1로 c=−1을 확정하면, 남은 미지수 a·b는 두 방정식 연립으로 딱 떨어진다.
실수 포인트 ① : 세 정적분을 하나하나 직접 계산해 등식 세 개를 세우려는 실수. 차를 이용하면 ∫−10=0, ∫01=0 두 식이면 충분하다.
실수 포인트 ② : 적분 계산에서 대칭(짝함수·홀함수) 성질을 안 써 계산이 길어지는 실수. ∫−11bx dx=0 처럼 홀함수는 대칭구간에서 0임을 쓰면 계산이 반으로 준다.
실수 포인트 ③ : f(2)를 물었는데 f(x)=3x2−1까지만 구하고 멈추는 실수. 반드시 x=2 대입 → 3·4−1 = 11.
정답 : 11