문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
피적분함수 f'(x)g(x)+f(x)g'(x)는 곱의 미분 공식 (fg)'=f'g+fg'의 결과물이다. 이 꼴이 보이면 무조건 (f(x)g(x))'로 되묶어라. 그러면 f, g 각각의 식은 전혀 필요 없어진다.
◀ f'g+fg' 는 항상 (fg)' 로 되돌린다
∫12 f'g dx + ∫12 fg' dx는 위끝·아래끝이 똑같다. 적분구간이 같으면 ∫(f'g)+∫(fg')=∫(f'g+fg')로 한 적분에 몰아넣을 수 있다. 합친 뒤 (fg)'로 묶으면 ∫12(fg)'dx.
◀ 구간이 같은 적분끼리는 안을 더해 하나로
미적분 기본정리로 ∫12(fg)'dx = [f(x)g(x)]12 = f(2)g(2) − f(1)g(1). 조건은 f(1)=4, f(2)=8, g(1)=1, g(2)=4만 주면 끝. 8·4 − 4·1 = 28.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f'g+fg'라는 꼴 자체가 곱의 미분의 산출물이다. 이걸 (fg)'로 되돌리는 순간(역곱미분), 적분구간이 같은 두 정적분은 하나로 합쳐지고 미적분 기본정리로 [fg] 양 끝값 대입만 남는다. 조건 (가)·(나)가 왜 함숫값(1,4),(2,8),(1,1),(2,4)만 주는지 여기서 이해된다 — f(2)g(2)−f(1)g(1)만 있으면 되기 때문이다.
실수 포인트 ① : 두 적분을 각각 부분적분하거나 f, g의 식을 직접 구하려는 실수. 곱미분 역이용이면 f, g가 무슨 함수인지 몰라도 답이 나온다.
실수 포인트 ② : f'g+fg'를 (f+g)' 등으로 착각하는 실수. 반드시 곱의 미분 (fg)'다.
실수 포인트 ③ : [fg]12을 대입할 때 (위끝)−(아래끝) 순서를 뒤집는 실수. f(2)g(2)−f(1)g(1) = 8×4 − 4×1 = 28.
정답 : 28