문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
조건 (가) ‘x=−1에서 극댓값 7’은 한 문장이지만 정보는 둘이다. f(−1)=7(함숫값)과 f'(−1)=0(극점). 극값 문제에서 ‘극값을 갖는다’를 보면 반사적으로 함숫값 식과 미분값=0 식을 동시에 적어라. 한 문장에서 방정식 두 개를 뽑는 게 핵심.
◀ 극값 조건 = 함숫값 + 미분값=0, 언제나 두 방정식 세트
조건 (나) 점 (0,0)에서 접선 y=−12x. 곡선이 원점을 지나니 f(0)=d=0. 그리고 그 점의 접선 기울기가 −12이므로 f'(0)=c=−12. 삼차함수 f'(x)=3ax²+2bx+c에 x=0을 넣으면 상수항 c만 남으니, 원점에서의 접선 기울기는 c를 그냥 통째로 준다.
◀ x=0 대입은 상수항만 남긴다 → f(0)=d, f'(0)=c 공짜로 획득
y=−12x가 원점에서 곡선에 접하면 f(x)+12x=ax²(x−k) 꼴로 쓸 수 있다. 접점 x=0이 중근(x²)으로 박히는 것. 이걸 쓰면 미정계수 4개를 연립하는 대신 a와 k 둘만 잡으면 끝난다. 결국 f(x)=2x³−3x²−12x, f'(x)=6(x+1)(x−2)로 x=2 극솟값 f(2)=−20.
◀ 접점=중근 스킬로 미정계수 연립을 절반으로 줄인다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 삼차함수 결정 문제는 미정계수 a, b, c, d를 조건 개수만큼의 방정식으로 잡는 게 정석이다. 여기서는 f(−1)=7, f'(−1)=0, f(0)=0, f'(0)=−12 네 식으로 a=2, b=−3, c=−12, d=0. f(x)=2x³−3x²−12x가 완성되면 f'(x)=6(x+1)(x−2)에서 x=2가 극소, f(2)=−20이다.
실수 포인트 ① : 극댓값 조건을 f'(−1)=0 하나로만 쓰는 실수. ‘x=−1에서 극댓값 7’은 f(−1)=7까지 함께 줘야 식이 충분해진다. 함숫값 조건을 빠뜨리면 미지수가 남아 답이 안 나온다.
실수 포인트 ② : 접선 정보를 f(0)=0으로만 쓰고 기울기 f'(0)=−12를 놓치는 실수. 접선은 ‘지난다(함숫값)’와 ‘기울기’라는 두 정보를 동시에 준다.
실수 포인트 ③ : 극댓값(x=−1)을 답으로 적는 실수. 문제가 묻는 건 극솟값이다. f'(x)=6(x+1)(x−2)에서 최고차 양수이므로 큰 근 x=2가 극소, f(2)=16−12−24=−20.
정답 : ① (−20)