문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
y=f'(x)가 x축을 뚫는 −2, 1이 그대로 f(x)의 극점 자리다. f'(x)=0의 해가 극대·극소의 x좌표라는 이 한 줄이 출발점. 그래프에서 −2, 1을 읽는 순간 f'(x)=3(x+2)(x−1)로 식이 잡히고, 전개해 계수를 맞추면 f(x)=x³+(3/2)x²−6x+c가 나온다.
◀ 그래프에서 절편만 읽어도 f'(x) 식이 통째로 세워진다
그림을 안 봐도 판정된다. 최고차 계수가 양수면 증가→감소→증가, 즉 작은 근(−2)에서 극대, 큰 근(1)에서 극소. f'(x)는 아래로 볼록 포물선이라 두 근 사이에서만 f’<0(감소). 극대·극소를 헷갈리면 부호표를 그리기 전에 이 규칙으로 먼저 찍어라.
◀ 부호표 없이도 극대·극소 자리는 이미 정해져 있다
극댓값 f(−2)=10+c, 극솟값 f(1)=−7/2+c. 두 값 모두 +c를 달고 있으니 합=13/2+2c=1/2 한 식으로 c=−3이 즉시 나온다. 각 극값을 따로 구하려 애쓰지 말고, ‘합’이 주어졌으면 c에 대한 일차방정식으로 바로 밀어붙이는 게 빠르다.
◀ 미지수 하나(c)는 방정식 하나로 끝. 합 조건이 곧 c 결정 도구
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 도함수 그래프 문제는 항상 ‘x절편 → f'(x) 식 → 적분해서 f(x) (상수 c 남김) → 조건으로 c 결정’ 순서다. 절편 −2, 1에서 f'(x)=3(x+2)(x−1), 극댓값과 극솟값의 합이라는 조건 하나로 마지막 c를 잡으면 f(x)가 완성되고 f(−1)=−1+3/2+6−3=7/2로 마무리된다.
실수 포인트 ① : 극대·극소를 뒤집는 실수. 최고차 계수가 양수인 삼차는 왼쪽 근이 극대, 오른쪽 근이 극소다. 그래프의 위아래 모양만 보고 반대로 적으면 극값의 합 부호가 통째로 틀어진다.
실수 포인트 ② : f(−2), f(1)을 대입할 때 c를 빠뜨리는 실수. 상수항 c는 모든 함숫값에 그대로 얹히므로 10+c, −7/2+c처럼 반드시 살려 적어야 합에서 2c가 나온다.
실수 포인트 ③ : 마지막 f(−1) 계산에서 부호 실수. f(−1)=−1+3/2+6−3인데 −6x에 x=−1을 넣으면 +6이다. 홀수차 항의 부호 반전을 놓치지 마라.
정답 : ④ (7/2)