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함숫값과 미분값이 동시에 0이면 그 점은 그래프가 x축에 접하는 중근이다. f(−1)=f'(−1)=0이면 (x+1)², f(3)=f'(3)=0이면 (x−3)²을 인수로 갖는다. 두 조건을 보자마자 인수 두 개를 세우는 게 이 문제의 첫 수다.
◀ 함숫값·미분값 동시에 0 = x축 접점 = 제곱 인수 신호
최고차 음수인 사차함수가 −1, 3 두 곳에서 x축에 접하므로 f(x)=k(x+1)²(x−3)² (k<0). 계수 다섯 개를 잡을 필요 없이 인수분해 꼴로 단번에 쓰고 k 하나만 남긴다. 남은 조건(극솟값 −16)으로 k를 확정하면 식이 완성된다.
◀ 접점 두 개 → 제곱 인수 두 개 → 미지수는 k 하나뿐
−1과 3의 중점 x=1이 이 그래프의 대칭축이다. 양 끝 x=−1, x=3의 극댓값이 같으므로 정중앙 x=1에서 극소가 잡힌다. 굳이 f'(x)를 전개해 근을 다 구하지 않아도 f(1)=k·2²·(−2)²=16k가 극솟값. 16k=−16에서 k=−1, 그러면 f(2)=−(3)²(−1)²=−9.
◀ 대칭축=중점, 극소 위치를 계산 없이 찍는다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘x축에 접한다’는 신호를 인수로 번역하는 게 전부다. f(a)=f'(a)=0 → (x−a)² 인수. 두 접점 −1, 3에서 f(x)=k(x+1)²(x−3)²로 쓰고, 극솟값 −16으로 k를 잡는다. 두 극대가 같은 대칭 그래프이므로 중점 x=1이 극소이고 f(1)=16k=−16, k=−1. 완성된 f(x)=−(x+1)²(x−3)²에 x=2를 넣어 f(2)=−9로 마무리.
실수 포인트 ① : f(a)=0만 보고 (x−a) 일차 인수로 쓰는 실수. f'(a)=0까지 함께면 중근 (x−a)²이다. 접한다 = 제곱이라는 걸 놓치면 사차식의 인수 구조가 무너진다.
실수 포인트 ② : k<0 조건을 무시하는 실수. 최고차항 계수가 음수여야 −1, 3에서 극대·중앙에서 극소인 개형이 나온다. 부호를 놓치면 극대·극소가 뒤집혀 극솟값 위치를 잘못 잡는다.
실수 포인트 ③ : 극솟값 위치를 힘들게 f'(x)=4k(x+1)(x−1)(x−3)까지 전개해 찾으려다 시간을 버리는 실수. 대칭축 x=1이 곧 극소라는 걸 쓰면 f(1)=16k로 한 번에 끝난다.
정답 : ② (−9)