문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g(t)=f(t)는 왼쪽 구간 (−∞, t]의 최솟값이 항상 오른쪽 끝 x=t에서 나온다는 뜻. 그래프가 계속 내려가야만(감소) 가장 오른쪽 점이 최소가 된다. 즉 f는 실수 전체에서 감소해야 하고, 이는 모든 x에서 f′(x)≤0과 같다. 최댓값 조건과 헷갈리지 말 것.
◀ 구간 최솟값이 늘 오른쪽 끝 = 전체 감소 = f′≤0
f(x)=−x³+ax²+ax → f′(x)=−3x²+2ax+a. 이건 위로 볼록(계수 −3) 포물선이라 ‘항상 ≤0’이 되려면 x축 위로 머리를 못 내밀어야 한다. 즉 판별식 D≤0. 3x²−2ax−a≥0으로 정리해 D/4=a²+3a≤0.
◀ 위로 볼록 이차가 항상 ≤0 ⇔ 판별식 ≤0
a²+3a=a(a+3)≤0 → −3 ≤ a ≤ 0. 곱이 0 이하면 ‘두 근 사이’다. 중근(D=0)도 감소를 허용하므로 양끝을 포함. 정수 a=−3,−2,−1,0 → 4개.
◀ 곱 ≤0은 두 근 사이, 양끝(중근) 포함
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘구간 (−∞, t]의 최솟값 = 오른쪽 끝 f(t)’가 모든 t에서 성립한다는 조건을 ‘함수가 실수 전체에서 감소’로 번역하는 게 전부다. 감소 ⇔ 모든 x에서 f′(x)≤0 ⇔ (위로 볼록 도함수의) 판별식 ≤0. 조건→증감→판별식으로 3단 번역하면 계산은 판별식 한 줄로 끝난다.
실수 포인트 ① : g(t)=f(t)를 최댓값 조건과 헷갈려 ‘증가’로 세우는 실수. 최솟값이 오른쪽 끝이면 감소다.
실수 포인트 ② : −3x²+2ax+a≤0(항상)을 판별식 ≥0으로 착각하는 실수. 위로 볼록이 x축 아래에 머물려면 D≤0.
실수 포인트 ③ : a(a+3)≤0을 a≤−3 또는 a≥0으로 뒤집는 실수. 곱이 0 이하 ⇒ −3≤a≤0(두 근 사이).
정답 : ④ (정수 a는 −3, −2, −1, 0의 4개)