문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
삼차함수(최고차 2/3>0)가 모든 t에 대해 y=t와 교점이 1개면, 극대·극소가 없어 그래프가 한 방향으로만 간다는 뜻 = 실수 전체에서 증가. 극값이 하나라도 생기면 어떤 t에서는 교점이 3개가 돼버린다. 그래서 모든 x에서 f′(x)≥0.
◀ 모든 t에서 교점 1개 = 극값 없음 = 단조증가
f′(x)=2x²+(a−1)x+2. 이건 아래로 볼록(계수 2) 포물선이라 ‘항상 ≥0’이 되려면 x축 아래로 안 내려가야 한다. 즉 극값이 없어야 하니 중근 또는 허근 → 판별식 D≤0.
◀ 아래로 볼록 이차가 항상 ≥0 ⇔ 판별식 ≤0
D=(a−1)²−16≤0 → a²−2a−15≤0 → (a−5)(a+3)≤0 → −3 ≤ a ≤ 5. 중근(D=0)도 증가를 허용하므로 양끝 포함. 정수 a=−3,…,5 → 9개.
◀ 곱 ≤0은 두 근 사이, 정수는 양끝 포함해 센다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘모든 실수 t에 대해 y=t와 교점이 1개’라는 문장을, 최고차 양수 삼차에서는 곧바로 ‘그래프가 단조증가(수평선 판정법)’로 읽는다. 증가 ⇔ 모든 x에서 f′(x)≥0 ⇔ (아래로 볼록 도함수의) 판별식 ≤0. 조건→증감→판별식 3단 번역이면 끝난다.
실수 포인트 ① : 교점 1개를 t별 실근 문제로 붙잡고 늘어지는 실수. ‘모든 t‘라는 말이 곧 ‘단조’를 뜻한다.
실수 포인트 ② : f′(x)≥0(항상)을 판별식 ≥0으로 착각하는 실수. 아래로 볼록이 x축 위에 머물려면 D≤0.
실수 포인트 ③ : (a−5)(a+3)≤0을 a≤−3 또는 a≥5로 뒤집는 실수. 곱이 0 이하 ⇒ −3≤a≤5(두 근 사이).
실수 포인트 ④ : 정수 개수를 셀 때 양끝 −3, 5를 빠뜨리는 실수. D=0(중근)도 증가 허용 → 포함해 9개.
정답 : ④ (정수 a는 −3, −2, …, 5의 9개)