문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
방정식 f(x)=9의 세 실근이 등비수열이면 세 근을 a, ar, ar²로 놓아라. 최고차 계수 1인 삼차이므로 f(x)−9=(x−a)(x−ar)(x−ar²), 즉 f(x)=(x−a)(x−ar)(x−ar²)+9. ‘세 근이 등비/등차’라는 조건은 미지수를 셋으로 늘리지 말고 공비 r(등차면 공차 d) 하나로 묶는 게 정석이다.
◀ 세 근을 두 문자(a, r)로 압축하면 조건 두 개로 딱 떨어진다
f(0)=(−a)(−ar)(−ar²)+9=−a³r³+9=1이므로 a³r³=8 → (ar)³=8 → ar=2. 여기서 ar은 바로 등비수열의 가운데 항이다. 세 근의 곱 = a·ar·ar² = (ar)³이라는 대칭성을 알면 f(0) 한 줄로 중간항이 확정된다.
◀ 세 근의 곱 = (가운데 항)³, 등비수열의 숨은 무기
ar=2이므로 x=2가 바로 가운데 근! f'(x)=(x−ar)(x−ar²)+(x−a)(x−ar²)+(x−a)(x−ar)에 x=2를 넣으면 (2−ar)이 든 두 항이 0으로 죽고 (2−a)(2−ar²)=−2만 남는다. a=2/r 대입 → 2r²−5r+2=0 → r=1/2 또는 r=2. 어느 쪽이든 세 근은 {1, 2, 4}로 같고 f(x)=(x−1)(x−2)(x−4)+9.
◀ 근을 대입하면 그 근이 든 인수가 0 → 계산량 폭삭
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 등비수열 세 근은 a, ar, ar²로 묶어 미지수를 a, r 둘로 줄이는 게 첫걸음이다. f(0)으로 (ar)³=8을 얻어 중간항 ar=2를 먼저 잡고, f'(2)에서 x=2가 곧 중간근임을 이용해 곱셈 세 항 중 둘을 0으로 날리면 남은 식이 r의 이차방정식으로 깔끔히 떨어진다. r=1/2, r=2 어느 쪽이든 세 근 집합은 {1, 2, 4}로 같아 f(x)가 유일하게 결정된다.
실수 포인트 ① : 세 근을 a−d, a, a+d(등차)로 놓는 실수. ‘등비’는 곱셈 공비 r, 즉 a, ar, ar²다. 등차와 헷갈리면 처음부터 어긋난다.
실수 포인트 ② : f(0)에서 부호를 놓쳐 −a³r³을 +a³r³로 계산하는 실수. (−a)(−ar)(−ar²)는 음수 세 개의 곱이라 −a³r³이다. 그래서 −a³r³+9=1 → a³r³=8.
실수 포인트 ③ : r=1/2과 r=2 중 하나만 답으로 보고 세 근이 달라진다고 착각하는 실수. 두 경우 모두 근 집합은 {1, 2, 4}로 동일 → f(3)=(3−1)(3−2)(3−4)+9=(2)(1)(−1)+9=7.
정답 : ② (f(3)=7)